12 нестандартных диаграмм Excel | finalytics.pro

В этой статье мы собрали 12 необычных диаграммам Excel со ссылками на краткие инструкции по их построению.

1. Диаграмма по мотивам Wall Street Journal

Какое-то время назад для того, чтобы показать неограниченность рисования в Excel, делал ряд статей, а файлы Excel к ним не прикладывал. Решил, что пора «рассекретить» хитрые диаграммы. Встретил диаграмму, созданную дизайнерами Wall Street Journal. И тут же ее воспроизвел в Excel. Подробнее >>

2. Диаграмма темпов роста в Excel

Как в Excel создать диаграмму с динамикой темпов роста, где изменения показателей показаны стрелками? Все просто — рисуем столбцы и добавляем к ним полосы повышения и понижения. Плюс рисуем графики с накоплением — первый для роста, второй график — уровень подписи. Подробнее >>

3. Линейчатая диаграмма с эффектами

На этот раз напишу о простой линейчатой диаграмме. Простой по содержанию, но необычной по оформлению. Весь секрет — пользоваться вспомогательными осями и разными типами диаграмм в одном пространстве. Подробнее >>

4. Как цветом показать на графике рост или падение последнего значения

Итак, задача: показать тенденцию последнего месяца (квартала, года, периода). В стандартных графиках можно настроить такое представление, чтобы на конце линии была красная стрелка, если у нас спад, и зеленая — если подъем. При желании можно настроить так, чтобы отличать сильный спад/подъем от незначительного, и другие нюансы. Подробнее >>

5. Диаграмма по мотивам The Economist

Обнаружил в журнале The Economist за октябрь 2014 года интересную гистограмму с меткой на столбцах. Тут же ее воспроизвел в Excel — вроде все получилось, кроме шрифтов. Подробнее >>

6. Диаграмма в виде колб

Хочу осветить тему: как «мониторить» выполнение планов компании? На одном из проектов я разработал такой интересный отчет: первая колба — год. Наполнение — сколько дней в году прошло в процентах. Следующие колбы — это контрольные показатели (может быть сколько угодно много). 100% — это план ЗА ГОД. Наполнение — как внутри года выполнен факт. Вот и смотрим: сколько прошло времени и как мы сработали. Минус — сезонность не учитывается. Плюс — взгляд со стороны. Подробнее >>

7. Диаграмма сравнения роста показателей

Как в Excel показать сравнить рост двух различных показателей? Можно «просто» сравнить данные. Правда, если они не сопоставимы, то особо ничего не увидишь. Но есть еще один способ, пожалуй, самый наглядный: методом базисной подстановки, который любит The Economist. Подробнее >>

8. Диаграмма с горизонтальной «зеброй»

Как построить в Excel диаграмму журнального качества с зеброй вместо горизонтальных линий? Есть несколько способов, с одним из которых можно ознакомиться благодаря приложенному файлу. Диаграмма построена по мотивам Wall Street Journal. Подробнее >>

9. График с вертикальной «зеброй»

Как на графике выделить данные с помощью вертикальной «зебры»? В таблицу, на основе которой строится график, необходимо добавить дополнительную строку с координатами фоновых столбцов. Немного манипуляций и все получится. Подробнее >>

10. Спарклайны и микрографики

Как мы делаем отчеты? В виде здоровых (и нездоровых, кстати, тоже) таблиц. Что из них понятно людям, имеющим малый опыт работы с большими объемами данных? Ничего. Далее рассмотрен пример, как показать структуру продаж за месяц и за год, и тут же показать динамику по месяцам и годам. Подробнее >>

11. Как показать на диаграмме отрицательные значения другим цветом

Недавно встретил такую ситуацию: пользователь для обозначения отрицательных значений на диаграмме строил таблицу с ЕСЛИ(). Где минусы — одни блоки, где плюсы — другие. Так делать не нужно! Ведь в Excel есть стандартная возможность настраивать цвет блоков. Подробнее >>

Теги: ExcelДиаграммы

Автор: Станислав Салостей

Строим диаграммы в Excel: основные принципы

Дарья Гордеева

Диаграмма — самый популярный инструмент для визуального представления числовых данных в Excel. «Пироги», графики, столбики, гистограммы, прогресс-бары — все это разные виды диаграмм. Разбираемся, когда их применять, как строить и как делать максимально наглядными (скоро стартует второй поток курса «Магия Excel»).

Четыре правила

Ничего лишнего

Не злоупотребляйте цветами, объемом, спецэффектами и лишними элементами на диаграммах.

Эдвард Тафти, главный эксперт в мире информационного дизайна и автор классической книги «Визуальное представление количественной информации», предложил коэффициент Data-Ink (данные-чернила). Он отображает соотношение «чернил», затраченных на график в целом, и «чернил», которые действительно отображают данные.

Чем выше данный коэффициент, тем лучше (меньше «чернил» потрачено впустую на то, что Тафти называет chartjunk, «мусором»). Иначе говоря, лишние элементы диаграмм их совсем не украшают, а только усложняют восприятие данных.

Вот хороший пример того, как отсечение всего лишнего помогает данным на рисунке «заговорить»:

 

Никаких 3D-диаграмм

В подавляющем большинстве книг по Excel и визуализации данных авторы сходятся в том, что объем — главное зло в диаграммах: он уже никого не впечатлит из ваших слушателей и читателей, а вот исказить данные вполне может. Используйте двумерные диаграммы, чтобы доносить информацию точно.

Правило 5 секунд

Стремитесь к тому, чтобы читатель вашего отчета/диаграммы мог сразу понять, что имеется в виду и о чем говорит ваша визуализация. Сложность вводит нас в ступор (и к тому же сложность вокруг нас только возрастает во всем), так что иначе вы рискуете потерять вашего читателя. Здорово, если у каждой диаграммы есть один посыл, одна идея, которую вы хотите донести до слушателя, и надписи/элементы/сам макет диаграммы позволяют ее быстро и однозначно «считать».

Правило пяти кусков пирога

Если на вашей круговой диаграмме больше пяти (в некоторых случаях — семи) элементов, она становится трудночитаемой. В таких случаях можно использовать другой тип («Дерево», если есть в вашей версии Excel, или линейчатую) или же построить вторичную круговую диаграмму.

Сравните картинки ниже: на какой из них информация воспринимается лучше?

Какой тип диаграммы выбрать

Выбрать подходящий тип диаграммы — уже половина успеха. К разным данным подходят разные типы диаграмм. Например, круговая диаграмма вряд ли подойдет для анализа динамики какого-то показателя, а график — для отражения структуры.

Основные типы диаграмм, использующиеся чаще всего: круговая, график, линейчатая, гистограмма (столбики).

Для чего подходят эти типы диаграмм? Наиболее простая схема выбора диаграммы — у Джина Желязны, автора книги «Говори на языке диаграмм»:

Если вы сравниваете отдельные компоненты целого, подойдет круговая диаграмма, или тот самый «пирог». Линейчатая диаграмма нужна для позиционного сравнения, когда важна не доля, а «кто больше кого». Для выявления динамики подходят гистограммы и графики.

Например, вот такую линейчатую диаграмму можно использовать, чтобы сравнить по продолжительности различные фильмы.

А такая сложная гистограмма подойдет для оценки динамики четырех разных составляющих за один и тот же период времени.

Создание диаграмм

Диаграммы бывают внедренными и расположенными на отдельном листе.

Внедренные диаграммы находятся «поверх ячеек», их можно передвигать и менять их размеры. Быстро создать внедренную диаграмму можно с помощью клавиш Alt+F1 (Fn + ⌥ + F1). Правда, создается с помощью горячих клавиш только определенный тип — гистограмма.

Диаграммы на отдельном листе занимают целый лист, на котором не может быть других объектов, диаграмм, ячеек. Такую диаграмму проще найти (у нее будет свой ярлык, так как она занимает отдельный лист), она не закрывает данные, которые тоже могут быть важны, к тому же на ней самой лучше видно мелкие детали.

Можно переместить внедренную диаграмму на отдельный лист, нажав соответствующую кнопку на контекстной вкладке «Конструктор диаграмм»; она появляется, когда вы активируете диаграмму.

Элементы диаграмм

У диаграмм довольно много элементов (их набор отличается от типа к типу), их можно удалять (помните про коэффициент Data-Ink?) и изменять (форматировать).

Добавить элементы в диаграмму можно несколькими способами. Если в вашей версии есть кнопки настройки диаграммы (появляющиеся справа от нее), то это самый быстрый способ. Первая кнопка — «Элементы диаграммы»:

Можно добавить элемент с помощью команды на вкладке «Конструктор диаграмм» (она контекстная и появится при выделении диаграммы):

Рядом есть кнопка для выбора одного из готовых макетов.

Вы можете навести мышкой на любой макет и посмотреть, как будет выглядеть ваша диаграмма. Но не факт, что для вашей задачи подойдет хотя бы один из готовых макетов; скорее всего, вам нужно будет его донастраивать, добавляя и меняя элементы диаграммы.

Настроить любой элемент можно с помощью контекстного меню и боковой панели «Формат». Чтобы ее вызвать, нужно дважды щелкнуть на элемент диаграммы, либо щелкнуть правой кнопкой на элемент и нажать «Формат…», либо выбрать команду «Формат выделенного» на ленте инструментов во вкладке «Формат», либо воспользоваться сочетанием клавиш Ctrl + 1.

Помимо панели, некоторые настройки можно изменить прямо в контекстном меню, которое появляется при щелчке правой кнопкой мыши на элементе. Например, заливку ряда данных (обратите внимание, что тот элемент, к которому применяются настройки, выделен на диаграмме маркерами):

Настраивать можно не только ряды данных, но и отдельные точки данных. Щелкните сначала на ряд данных, а потом еще раз на точку, и сможете настроить ее отдельно.

Таблица данных

Таблица данных позволяет совместить в диаграмме и собственно диаграмму, и таблицу с теми данными, на основе которых она построена. Особенно полезна таблица данных может быть для диаграмм, расположенных на отдельном листе, ведь в таком случае ячеек рядом с диаграммой быть не может и это единственный вариант совмещения таблицы и диаграммы.

Но таблица данных может быть полезна и для внедренных диаграмм. Она позволяет показать исходные данные под диаграммой, совместить их с легендой, а в метки данных на самой диаграмме вывести еще какой-нибудь показатель.

Фильтр диаграммы

В Excel 2019 появилась очень полезная опция — фильтр, позволяющий отобразить только часть данных или только некоторые ряды данных на диаграмме. Это третья кнопка рядом с диаграммой — с иконкой фильтра.

В предыдущих версиях можно скрывать строки или столбцы, чтобы данные не отображались на диаграмме.

Если же вам, напротив, нужно отображать данные со скрытых строк и листов, эту опцию можно включить в окне «Выбор источника данных»:

Напоследок стоит сказать, что диаграммы — не единственный способ визуализации данных в Excel. Можно также использовать просто стилевое и числовое форматирование ячейки (в том числе пользовательские форматы и стили), условное форматирование, спарклайны, стили таблиц и срезы в этих таблицах.

На курсе «Магия Excel» будет два модуля — для новичков и продвинутых. Записывайтесь→

Фото на обложке отсюда

Комплексная плоскость

	Нет, не тот сложный самолет…
… этот сложный самолет :	Самолет для сложных номеров !

(также называемая «диаграммой Аргана»)

Действительное и мнимое образуют комплекс

Комплексное число представляет собой комбинацию действительного числа и мнимого числа:

Вещественное число — это число, которое мы используем каждый день.

Примеры: 12.38, ½, 0, −2000

Возведение в квадрат вещественного числа дает положительный (или нулевой) результат:

2 ² = 2 × 2 = 4

4 2 9 = 1 × 1 = 1
0 ² = 0 × 0 = 0

Что нужно возвести в квадрат, чтобы получить −1?

? ² = -1

Возведение в квадрат -1 не работает, потому что умножение отрицательных чисел дает положительное: (-1) × (-1) = +1, и никакие другие действительные числа также не работают.

Итак, кажется, что математика неполна…

… но мы можем заполнить пробел с помощью , представив число, которое при умножении само на себя дает -1
(назовем его i для мнимого):

i ² = −1

Мнимое число, при возведении в квадрат которого получается отрицательный результат

.

Примеры: 5 i , -3,6 i , i /2, 500 i

А вместе:

Комплексное число представляет собой комбинацию действительного числа и мнимого числа. Размещение комплексного числа на плоскости

Возможно, вы знакомы с числовой прямой:

Но куда мы поместим комплексное число, например 3+4 i ?

Пусть прямая с действительными числами идет влево-вправо, как обычно, а прямая с мнимыми числами идет вверх-вниз :

Затем мы можем построить комплексное число, например 3 + 4i : 3 единицы вдоль (действительной оси), и 4 единицы вверх (воображаемая ось).
А вот 4 — 2i : 4 шт. вдоль (действительной оси), и на 2 единицы вниз (воображаемая ось).

 

И это комплексная плоскость :

• комплексная , потому что это комбинация реального и мнимого,
• плоскость потому что она похожа на геометрическую плоскость (двухмерную).

Весь новый мир

Теперь давайте перенесем идею плоскости (декартовы координаты, полярные координаты, векторы и т.д.) в комплексные числа.

Это откроет совершенно новый мир чисел, более полных и элегантных, как вы увидите.

Комплексное число как вектор

Мы можем думать о комплексном числе как о векторе.

Это вектор.
Имеет величину (длину) и направление.

А вот и комплексный номер 3+4i как вектор :

Добавление

Вы также можете складывать комплексные числа как векторы:

Чтобы сложить комплексные числа 3 + 5i и 4 − 3i : добавьте действительные числа и добавить мнимые числа отдельно, вот так: (3 + 5 i ) + (4 − 3 i ) = (3 + 4) + (5 − 3) i =7+ 2 i

Полярная форма

Давайте снова воспользуемся 3 + 4i :
Вот это в полярной форме:

Таким образом, комплексное число 3 + 4i также может быть представлено как расстояние (5) и угол (0,927 радиан).

Давайте посмотрим, как преобразовать одну форму в другую, используя декартово преобразование в полярное:

Пример: номер

3 + 4i

из 3 + 4i :

• r = √ (x ² + y ² ) = √ (3 ² + 4 ^{2) = √ (3 2 + 4 2) ) = √25 = 5}
• θ = тангенс ^-1 (y/x) = тангенс ^-1 (4/3) = 0,927 (до 3 десятичных знаков)

И мы получаем расстояние (5) и угол (0,927 радиан)

Еще раз:

• x = r × cos( θ ) = 5 × cos( 0,927 ) = 5 × 0,6002… = 3 (достаточно близко)
• y = r × sin( θ ) = 5 × sin( 0,927 ) = 5 × 0,7998… = 4 (достаточно близко)

А расстояние 5 и угол 0,927 снова становятся 3 и 4

На самом деле общепринятым способом записи комплексного числа в полярной форме является

x + i y =r cos θ + i r 29 sin θ

= r(cos θ + I SIN θ )

и «COS θ + I SIN θ » часто сокращается до «CIS θ «, так:

x + IY = 9007 R CIS 9

x + IY = 9007 R CIS 9

x + IY = 9007 R CIS 9

x + IY = » θ

цис просто сокращение для cos θ + i sin θ

Итак, мы можем написать:

3 + 4i = 5 цис 0,927

В некоторых предметах, таких как электроника, «цис» используется очень часто!

Резюме

• Сложная плоскость — это плоскость с:
  • действительные числа, бегущие слева направо и
  • мнимых чисел, бегущих вверх-вниз.
• Чтобы преобразовать декартову форму в полярную:
  • г = √(х ² + у ² )
  • θ = тангенс ^-1 (г/х)
• Чтобы преобразовать полярную форму в декартову:
  • х = r × cos( θ )
  • y = r × sin( θ )
• Полярная форма r cos θ + i r sin θ часто сокращается до r cis θ

Далее … узнайте об умножении комплексных чисел.

 

 

Объяснение урока: Диаграмма Аргана | Nagwa

В этом объяснении мы узнаем, как идентифицировать комплексные числа, нанесенные на диаграмму Аргана, и узнаем их геометрические свойства.

Одна из самых удивительных особенностей комплексных чисел заключается в том, что они вводят геометрическую
интерпретация знакомых арифметических операций. Работая с чисто действительными числами, мы
могли бы выразить их на одномерной числовой прямой. Такое мышление дало нам дополнительные
представление об их свойствах. Принимая во внимание, что с введением 𝑖 мы можем
добавить второе измерение и рассматривать комплексные числа как точки на плоскости, мы обнаружим, что
визуализация комплексных чисел таким образом даст нам дополнительное понимание их
характеристики.

Определение: Диаграмма Аргана

Комплексные числа могут быть представлены геометрически на двумерной плоскости с двумя
перпендикулярные оси, представляющие действительную и мнимую части числа соответственно.
Комплексное число 𝑧=𝑥+𝑦𝑖 представлено точкой
(𝑥,𝑦) в декартовых координатах. Этот самолет называют
комплексная плоскость, плоскость Аргана или диаграмма Аргана.

Начнем с простого примера, где мы определим декартовы координаты комплексного числа на диаграмме Аргана.

Пример 1: Координаты комплексных чисел на диаграмме Аргана

Если число 𝑍=8+𝑖 представлено на диаграмме Аргана
точки 𝐴, определите декартовы координаты этой точки.

Ответ

Из определения диаграммы Аргана мы знаем, что комплексное число 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 будет представлено точкой с декартовыми координатами
(𝑎,𝑏).

Следовательно, 𝑍 будет представлен точкой
𝐴(8,1).

В нашем следующем примере мы идентифицируем комплексные числа и их сопряженные числа по диаграмме Аргана.

Пример 2. Представление комплексных чисел на диаграмме Аргана

Семь комплексных чисел 𝑧, 𝑧,
𝑧, 𝑧, 𝑧,
𝑧 и 𝑧 представлены на Аргане.
диаграмма.

1. Какое из комплексных чисел равно −3+2𝑖?
2. Какое комплексное число представлено 𝑧?
3. У какого комплексного числа действительная и мнимая части равны?
4. Какие два комплексных числа являются сопряженной парой? Какова их геометрическая
   отношение?

Ответ

Часть 1

Согласно определению диаграммы Аргана комплексное число
−3+2𝑖 будет представлен точкой (−3,2). Считая эти координаты с плоскости, мы находим, что −3+2𝑖=𝑧.

Часть 2

Начнем с считывания координат 𝑧 с диаграммы Аргана
в виде (−4,−1), которые по определению представляют собой комплекс
число −4−𝑖. Следовательно, 𝑧=−4−𝑖.

Часть 3

На прямой будет лежать комплексное число с равными действительными и мнимыми частями
𝑥=𝑦. Проводя эту линию на диаграмме Аргана, мы находим, что только один
числа лежит на этой строке: 𝑧.

Часть 4

Напомним, что комплексное сопряжение 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 равно 𝑧=𝑎−𝑏𝑖. Следовательно, мы могли бы построить 𝑧 в точке (𝑎, 𝑏), а мы могли бы построить 𝑧 в точке (𝑎, −𝑏). Следовательно, точки, представляющие комплексное число и его сопряженное
имеют одинаковое 𝑥-значение, но противоположные 𝑦-значения. Ищу
на приведенной нами диаграмме мы видим только две пары точек с одинаковыми
𝑥-координаты: 𝑧 и 𝑧 и
𝑧 и 𝑧. Учитывая 𝑧 и
𝑧, получаем, что 𝑦-координата
𝑧 равно 3, тогда как 𝑦-координата
𝑧 равно −2. Следовательно, эти два не являются комплексом
сопряженная пара, тогда как, учитывая 𝑧 и 𝑧, мы
найти, что 𝑦-координата 𝑧 равна 3 и
𝑦-координата 𝑧 равна −3. Следовательно, они представляют собой комплексно-сопряженную пару. Кроме того, мы видим, что как сложный
сопряженная пара, точки 𝑧 и 𝑧 связаны соотношением
отражение на действительной оси (𝑥-оси).

Используя диаграммы Аргана, мы можем геометрически интерпретировать сложение комплексных чисел. На двоих
комплексные числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 и 𝑧=𝑐+𝑑𝑖, их сумма
можно выразить как 𝑧+𝑧=(𝑎+𝑐)+(𝑏+𝑑)𝑖. Если мы построим эти числа
на диаграмме Аргана мы нанесли бы точки (𝑎,𝑏), (𝑐,𝑑) и (𝑎+𝑐,𝑏+𝑑). Рассмотрение этих моментов предполагает некоторые
своего рода эквивалентность между комплексными числами и векторами. Это действительно так, и для
количество операций с комплексными числами, считая их векторами в матрице Аргана.
схема на самом деле наиболее информативна. В частности, для сложения и вычитания мы можем
рассмотрим два комплексных числа 𝑧 и 𝑧, чтобы
представлены векторы с компонентами (𝑎,𝑏),
(𝑐,𝑑) соответственно. Таким образом, добавление
комплексные числа можно интерпретировать как сложение векторов. Например, сложение комплексных чисел
1+2𝑖 и 3+𝑖 по правилу параллелограмма можно
представлено следующим образом.

В следующем примере мы вычислим сложение двух комплексных чисел, используя показанный выше графический подход.

Пример 3. Нахождение суммы двух комплексных чисел, представленных на аргане
Диаграмма

Используя показанную диаграмму Аргана, найдите значение 𝑧+𝑧.

Ответ

Одним из способов сложения комплексных чисел, заданных на диаграмме Аргана, является
считывать значения и добавлять их алгебраически. Напомним, что точка (𝑎,𝑏)
на диаграмме Аргана представляет собой комплексное число 𝑎+𝑏𝑖. Таким образом,
находим выражения для 𝑧 и 𝑧
путем определения точек.

Мы видим, что 𝑧 находится в (2,3),
поэтому 𝑧=2+3𝑖, а 𝑧 находится в точке (−4,−3), поэтому 𝑧=−4−3𝑖.

Теперь мы можем складывать числа, складывая их действительные и мнимые
компоненты соответственно:
𝑧+𝑧=(2+3𝑖)+(−4−3𝑖)=(2−4)+(3−3)𝑖=−2+0𝑖=−2.

Таким образом, ответ равен −2.

Кроме того, отметим, что если мы построим −2
как точка (−2,0) на диаграмме,
это один из концов диагонали
параллелограмма, противоположные вершины которого равны 𝑧 и
𝑧.

Только что увидев, как сложение комплексных чисел может быть представлено с помощью закона параллелограмма на диаграмме Аргана, мы могли бы задаться вопросом, как другие геометрические конструкции соответствуют операциям с комплексными числами. За
Например, как насчет середины между двумя комплексными числами? Давайте рассмотрим эту идею на следующем примере.

Пример 4. Нахождение середины двух комплексных чисел, нарисованных на аргане
Диаграмма

Какое комплексное число лежит в середине 𝑧 и 𝑧
на заданной комплексной плоскости?

Ответ

Чтобы найти среднюю точку между двумя точками, существуют различные методы.
доступны для нас. Один из способов заключается в использовании
Формула середины отрезка. Конкретно,
для заданных конечных точек (𝑥,𝑦) и
(𝑥,𝑦), середина
является
𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2.

Из диаграммы Аргана видно, что 𝑧
имеет координаты (−2,7) и 𝑧
имеет координаты (6,−3). Следовательно,
используя формулу, их середина
−2+62,7+(−3)2=42,42=(2,2).

Напомним, что точка (𝑎,𝑏) на диаграмме Аргана представляет собой комплексное число
𝑎+𝑏𝑖. Таким образом, комплекс
число, лежащее посередине 𝑧 и 𝑧
равно 2+2𝑖.

Давайте исследуем значение ответа на последний пример. Читая точки с диаграммы Аргана,
мы можем видеть, что 𝑧 и 𝑧
расположен в координатах (−2,7) и
(6,−3) соответственно, а значит, равны
𝑧=−2+7𝑖,𝑧=6−3𝑖.

Если рассматривать их сумму, то
𝑧+𝑧=(−2+6)+(7−3)𝑖=4+4𝑖.

Обратите внимание, что это двойное 2+2𝑖,
что было средней точкой, которую мы рассчитали. На самом деле это общее свойство
это относится к середине любых двух чисел на комплексной плоскости.

Свойство: Середина комплексных чисел

Середина отрезка между двумя комплексными числами 𝑧
и 𝑧 на диаграмме Аргана соответствует
к комплексному числу 𝑧, заданному формулой
𝑧=𝑧+𝑧2.

Давайте далее исследуем геометрические отношения между точками на диаграмме Аргана и их соответствующим комплексом
аналоги в следующем примере.

Пример 5. Нахождение умножения комплексного числа на диаграмме Аргана
вещественным числом

Используя приведенную ниже диаграмму Аргана, найдите значение
−2𝑧.

Ответ

Нас просят найти, что −2𝑧
задан 𝑧 на диаграмме Аргана, которую мы можем определить, найдя
комплексное число, на которое ссылается 𝑧, и умножение его на −2.

Напомним, что точка с координатами (𝑎,𝑏)
на диаграмме Аргана относится к комплексному числу 𝑎+𝑏𝑖. Так как 𝑧
находится в точке (1,−2), это означает, что 𝑧=1−2𝑖.

Теперь мы можем умножить это число на -2, чтобы найти новое число:
−2𝑧=−2(1−2𝑖)=−2(1)−2(−2𝑖)=−2+4𝑖.

Хотя это и не требуется, мы можем изобразить эффект умножения из предыдущего вопроса на диаграмме.

Интерпретируя это геометрически, мы видим, что расстояние от
происхождение было удвоено, но в противоположном
направление. Это соответствует расширению точки с
масштабный коэффициент −2 с центром в начале координат. В качестве альтернативы мы можем
думайте об этом как о вращении на 𝜋 радиан вокруг начала координат
с последующим расширением с масштабным коэффициентом 2. Это концепция, которую мы
можно обобщить.

Свойство: умножение на действительные числа на диаграмме Аргана

Если комплексное число 𝑧 умножается на действительное число 𝑐,
это соответствует расширению с масштабным коэффициентом 𝑐
с центром в начале координат на диаграмме Аргана.

Теперь обратим внимание на геометрическую интерпретацию умножения на 𝑖.

Пример 6. Нахождение квадранта, в котором комплексное число лежит на аргане
Диаграмма

Рассмотрим комплексное число 𝑧=5+3𝑖. Если 𝑖𝑧 представлено на диаграмме Аргана
точка 𝐴,
в каком квадранте плоскости Аргана находится
𝐴 ложь?

Ответ

Самый простой способ решить эту проблему — начать с
расчет 𝑖𝑧 напрямую:
𝑖𝑧=𝑖(5+3𝑖)=5𝑖+3𝑖=−3+5𝑖.

Теперь нарисуем это на диаграмме Аргана (вместе с исходной
точка для справки). Напомним, что число
𝑎+𝑏𝑖 соответствует точке (𝑎,𝑏) на
диаграмма Аргана. Таким образом, мы нанесем точки (5,3)
и (−3,5) для
𝑧 и 𝑖𝑧 соответственно.

Используя соглашение о том, что верхний правый квадрант является первым
квадрант, и продолжая движение против часовой стрелки, мы можем
видите, что наша точка 𝐴
(т. е. точка, представляющая 𝑖𝑧)
лежит во втором квадранте.

Дадим геометрическую интерпретацию преобразования из предыдущего примера. На диаграмме Аргана мы видим, что
точка осталась на том же расстоянии от начала координат, но угол ее с реальной осью изменился. В частности,
исходная точка была повернута вокруг начала координат на угол
𝜋2 радиана (положительно, так как это вращение против часовой стрелки). Это качество справедливо для общих случаев.

Свойство: Умножение на 𝑖 на диаграмме Аргана

Если комплексное число 𝑧
умножается на 𝑖, это соответствует вращению (против часовой стрелки) на 𝜋2
о
начало на диаграмме Аргана.

Кстати, мы можем видеть, как это связано с предыдущим свойством
умножение на действительные числа. Если комплекс
число умножается на 𝑖 дважды, это то же самое, что умножение на 𝑖=−1. Используя определение, данное ранее, это
будет расширением с коэффициентом масштабирования -1.