Аппроксимация данных сплайнами Безье — Виртуальные лаборатории

Вернуться к содержанию

  Сплайн (от англ. spline, – гибкое лекало, гибкая плазовая рейка – полоса металла, используемая для черчения кривых линий) – функция, область определения
которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим многочленом. Максимальная степень из использованных полиномов
называется степенью сплайна. Разность между степенью сплайна и получившейся гладкостью называется дефектом сплайна. Например, непрерывная ломаная есть сплайн степени 1 и дефекта 1. В
современном понимании сплайны – это решения многоточечных краевых задач сеточными методами.

  Чтобы наглядно продемонстрировать приведенные понятия сплайна, степени сплайна и дефекта сплайна, рассмотрим следующую задачу: имеется совокупность экспериментальных данных,
необходимо максимально точность аппроксимировать последовательность данных полиномиальной функцией n-го порядка с достоверностью не менее 95 %. В качестве базового выбираем метод
полиномиальной аппроксимации с помощью так называемого сплайна Безье. Данный метод наиболее актуален для реализации в компьютерном алгоритме.

   Сплайны (кривые) Безье или Кривые Бернштейна-Безье разработаны в 60-х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье из автомобилестроительной
компании «Рено» и Полем де Кастельжо из компании «Ситроен», где применялись для проектирования кузовов автомобилей [1].

 Кривая Безье относится к полиномам третьего порядка и уникально определяется четырьмя точками. Обозначим эти точки p0 (начальная), p1, p2 (две управляющие) и p3 (конечная). Обозначенные точки будут иметь координаты:
(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)
и (x3, y3). Полином третьего порядка,
задающий координаты точек в двумерном пространстве, выражается параметрическими уравнениями общего вида:

где ax, bx, cx, dx, ay, by, cy и dy – константы, a параметр t меняется от 0 до 1.

  Любая кривая Безье уникально определяется этими 8 константами. Их значения зависят от координат четырех точек, задающих кривую. Цель этой задачи – вывести уравнения для
расчета восьми констант по заданным координатам четырех точек.

  Первое допущение для вывода этих уравнений заключается в том, что кривая Безье начинается в точке с координатами (x0, y0) при t = 0:

 Даже такое простое допущение позволяет продвинуться в выводе уравнений для констант. Подставив в параметрические уравнения t = 0, получим:

  Это означает, что две из констант – это просто координаты начальной точки:

   Второе допущение, касающееся кривой Безье: она заканчивается в точке с координатами (x3, y3) при t = 1:

   Подставив в параметрические уравнения (1) вместо t единицу, получаем:

что означает наличие следующей связи между константами и координатами конечной точки:

   Остальные допущения касаются первых производных параметрических уравнений, описывающих угол наклона кривой. Первую производную параметрического уравнения общего вида, задающего
полином третьего порядка как функцию переменной t, можно записать так:

    Нас, в частности, интересует угол наклона кривой в конечных точках. Как известно, прямая, проведенная из начальной точки через первую
управляющую точку, проходит по касательной к кривой Безье и направлена в ту же сторону, что и кривая. Обычно эту прямую задают параметрическими уравнениями:

где t изменяется от 0 до 1. Но можно задать ее иначе:

где t изменяется от 0 до 1/3.

   Почему именно 1/3? Дело в том, что длина той части кривой Безье, по касательной к которой проходит прямая, проведенная из точки p0 через p1, направленная в ту же сторону, что и кривая, равна 1/3 от общей
длины кривой. Первые производные модифицированных параметрических уравнений можно записать так:

   Если нужно рассчитать по этим уравнениям угол наклона кривой Безье при t = 0, то:

   Подставив t = 0 в уравнение первой производной полинома третьего порядка, получим:

   Это позволяет записать равенство:

 Последнее допущение таково: прямая, проведенная из второй управляющей точки через конечную, является касательной к кривой
Безье в ее конечной точке и направлена в ту же сторону, что и кривая. Иначе говоря:

    Из уравнений общего вида следует, что:

поэтому:

  Выражения (2), (4), (6) и (8) дают четыре уравнения с четырьмя неизвестными, которые можно решить относительно ax, bx, cx и
dx, выразив их через x0,
x1, x2 и x3. Выполнив ряд алгебраических преобразований, получаем:

  Выражения (3), (5), (7) и (9) позволяют сделать то же самое для коэффициентов y. После этого
можно подставить константы обратно в параметрическое уравнение общего вида для полинома третьего порядка:

   В сущности, на этом можно было бы закончить. Но лучше раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. В итоге получатся более элегантные
параметрические уравнения, с которыми проще работать:

   Уравнения (10) и (11) позволяют построить кривую Безье в декартовых координатах.

  На первом этапе разработки компьютерного алгоритма аппроксимации экспериментальных данных мы будем задавать кривую Безье
визуальным способом, перемещая ее узловые точки в декартовой системе координат графической области экрана. Пример графического представления кривой Безье представлен на рисунке 1. Точки
P0 и P3 – начальная и конечная точки
кривой соответственно, P1 и P2 –
управляющие точки (или точки направляющих отрезков).

Рисунок 1 – К построению кривой Безье

  В качестве средства разработки выбираем среду программирования Microsoft Visual Basic 6.0. На рисунке 2 представлена форма графического интерфейса,
включающая графическое поле для построения кривых, и панель параметров, расположенную в левой части формы.

Рисунок 2 – Графический интерфейс пользователя программы
математической аппроксимации кривой Безье

   С помощью указателя мыши пользователем задаются положения точек P0, P1, P2 и P3 сплайна Безье. Центр системы координат можно смещать, перемещая указатель мыши в графической области при нажатой правой кнопке мыши.

 Далее проведем кривую полиномиальной функции n-го порядка по кривой построенного сплайна Безье. Целью данной процедуры является переход от параметрических уравнений сплайна
Безье к аналитической функции вида y=f(x) при аппроксимировании данных. На панели параметров в левой части экрана пользователем выбирается степень n
полиномиальной функции. От данного параметра зависит, сколько опорных точек будет выделено на сплайне Безье, через которые проходит полиномиальная кривая, и, следовательно, точность
приближения полиномиальной кривой к сплайну, также будет зависеть от выбранной степени полинома.

 Принцип построения полиномиальной кривой базируется на вычислении коэффициентов полинома:

где n – число точек на сплайне Безье, через которые проходит полиномиальная кривая.

  Для вычисления коэффициентов Ci необходимо задать опорные точки на сплайне Безье, координаты которых
вычисляются по известным параметрическим уравнениям Безье (10 и 11), и подставить координаты опорных точек (xi,
yi) в уравнение (12). В таком случае мы получаем систему линейных уравнений с n неизвестными:

где ai – коэффициенты системы уравнений, а0 – свободные члены.

   В представленном алгоритме система линейных уравнений вида (13) решается методом Крамера, подразумевающем преобразование системы уравнений в матрицы 3×3, 4×4, 5×5 и 6×6 для
полиномиальной функции 2, 3, 4 и 5-го порядков, соответственно. Программно вычисления производятся с использованием двумерных массивов, в которые записываются столбцы основной и
вспомогательных матриц Крамера, после чего производится вычисление их определителей, и находятся коэффициенты полиномиального уравнения.

 В программе реализован алгоритм автоматической корректировки коэффициентов уравнения полинома. Сущность алгоритма заключается в цикличной проверке максимального расхождения
полиномиальной кривой и кривой Безье в направлении оси Y (рисунок 3). Степень сплайна Безье es равна
3, а степень полиномиальной кривой ep выбирается пользователем (2, 3, 4 или 5). Теоретически,
при ep ≥ es расхождение кривых
сводится к нулю.

Рисунок 3 – К определению степени достоверности аппроксимации
(до пересчета координат опорных точек)

   С заданным шагом (по оси абсцисс) вычисляются длины вертикальных отрезков, соединяющих кривую полинома и кривую Безье (закрашенная область на рисунке 3). Длины указанных отрезков
записываются в одномерный массив, после чего определяется и фиксируется наибольшая длина отрезка (максимальная величина расхождения кривых Δ). С помощью генератора случайных чисел
задаются новые координаты опорных точек на кривой Безье, тем самым происходит их случайное смещение по сплайну, при этом каждая итерация заканчивается пересчетом величины Δ. Если после
новой итерации величина Δ уменьшилась по сравнению с предшествующей, то полиномиальная кривая перестраивается. Визуально мы наблюдаем сближение полиномиальной кривой со сплайном Безье
(рисунок 4).

Рисунок 4 – К определению степени достоверности аппроксимации
(максимальное приближение аппроксимирующей кривой к сплайну Безье)

  Разработанный алгоритм является эффективным инструментом для обработки эмпирических данных с использованием сплайнов. К
примеру, если речь идет об интегральных кривых распределения, сплайном Безье можно задавать аппроксимирующую
функцию, которая будет проходить через экспериментальные точки. При этом, конфигурация сплайна может задаваться не только ручным способом с помощью конечных и управляющих точек, а процедурно,
путем проверки расходимости координат экспериментальных точек и точек, выделенных на сплайне с равной абсциссой. В конечном итоге мы получаем полиномиальную функцию n-й степени, которая
будет максимально точно описывать последовательность эмпирических данных (например, как на рисунке 5).

Рисунок 5 – Схематичное представление процесса аппроксимации
эмпирических данных

    В случае аппроксимации интегральных кривых распределения на выходе работы алгоритма мы получаем функцию
y(x), дифференцирование которой позволит построить закономерную дифференциальную гистограмму распределения dy(x) (например, как на рисунке 6).

Рисунок 6 – Построение дифференциальной гистограммы
распределения по аппроксимирующей полиномиальной кривой

Библиографические ссылки:

[1] – Кривая Безье: Материал из Википедии – свободной
энциклопедии: Версия 64994710, сохраненная в 23:11 UTC 22 августа 2014 // Википедия, свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Сан-Франциско: Фонд Викимедиа, 2014.

Вернуться к содержанию

При копировании материалов ссылка на сайт www.sunspire.ru обязательна. Также, вы можете
использовать библиографическую ссылку на учебное пособие:

«Белов, В.В. Компьютерная реализация решения научно-технических и образовательных задач: учебное пособие / В.В. Белов, И.В. Образцов,
В.К. Иванов, Е.Н. Коноплев // Тверь: ТвГТУ, 2015. 108 с.»

Пути (paths) — SVG | MDN

• « Предыдущая статья
• Следующая статья »

Элемент <path> («путь»)– наиболее мощный элемент в библиотеке основных форм SVG. С его помощью можно создавать отрезки, кривые, дуги и многое другое.

С помощью элементов <path> создают сложные формы, объединяя многочисленные прямые и кривые линии. Сложные формы из одних только прямых линий можно создавать и через элемент polyline. Хотя результаты работы обоих элементов могут быть похожи, элемент polyline отображает кривые как много маленьких прямых линий, что не очень хорошо масштабируется до больших размеров. Хорошее понимание path важно при рисовании SVG. При создании сложных paths не рекомендуется использовать XML или текстовые редакторы – понимание, как они работают, позволит установить и исправить проблемы с отображением SVG.

Форма элемента path определяется одним атрибутом: d (смотри подробности в основные формы). Атрибут d содержит серию команд и параметров, используемых этими командами. Мы опишем доступные команды и покажем примеры того, что они делают.

Каждая команда обозначается специальной буквой. Например, нам надо переместиться в точку с координатами (10,10). Команда «Передвинуть к» вызывается буквой M. Когда синтаксический анализатор наталкивается на эту команду, он знает, что необходимо переместиться к указанной точке. Итак, для перемещения к точке (10,10) используется команда «M 10 10», и далее синтаксический анализатор переходит к следующей команде.

Все команды существуют в двух вариантах: вызов команды с заглавной буквы обозначает абсолютные координаты на странице, а команда со строчной буквой -относительные (например, перемещение от последней точки на 10px вверх и 7px влево).

Координаты в атрибуте d всегда пишутся без указания единиц измерения и находятся в системе пользовательских координат (обычно это пиксели). Позже мы рассмотрим, как элемент paths может быть трансформирован для других нужд.

Существуют пять команд линии для узлов <path>. Первая команда — это «Переместиться к», или M, описанная выше. В качестве параметров она принимает координаты точки, к которой перемещается. Если курсор уже был где-либо на странице, между старым и новым местом линия не появится. Команда «Переместиться к» используется в начале элемента <path> для указания точки, откуда начнётся рисование, например:

M x y

или

m dx dy

Следующий пример рисует одну только точку (10,10). Заметьте, однако, что при обычном использовании <path> она вообще не была бы видна.

<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <path d="M10 10"/>
  <!-- Точки -->
  <circle cx="10" cy="10" r="2" fill="red"/>
</svg>

Существуют три команды, которые рисуют линии. Самая общая — команда «Линия к», вызываемая буквой L. Эта команда принимает два параметра — координаты точки x и y — и рисует линию от текущего положения к этой точке.

 L x y (или l dx dy)

Для рисования горизонтальных и вертикальных линий есть две укороченные формы . H рисует горизонтальную линию, а V рисует вертикальную линию. Обе команды используют только один аргумент, так как они движутся только в одном направлении.

 H x (или h dx)
 V y (или v dy)

Начнём с рисования простой формы, например, прямоугольника (такого же, какой проще нарисовать с помощью элемента <rect>). Он состоит только из горизонтальных и вертикальных линий:

<svg xmlns="http://www. w3.org/2000/svg">
  <path d="M10 10 H 90 V 90 H 10 L 10 10"/>
  <!-- Точки -->
  <circle cx="10" cy="10" r="2" fill="red"/>
  <circle cx="90" cy="90" r="2" fill="red"/>
  <circle cx="90" cy="10" r="2" fill="red"/>
  <circle cx="10" cy="90" r="2" fill="red"/>
</svg>

Нашу запись в примере выше можно немного сократить , используя команду «Закрыть путь», Z. Эта команда рисует прямую линию от текущего положения обратно к первой точке пути. Она часто встречается в конце узла пути, хотя и не всегда. Для неё регистр буквы не важен.

 Z (или z)

Таким образом наш путь из примера можно сократить до:

 <path d="M10 10 H 90 V 90 H 10 Z" fill="transparent" stroke="black"/>

Точно такую же картину можно получить с помощью относительных форм этих команд. Как уже говорилось, относительные команды вызываются использованием букв нижнего регистра и перемещают курсор относительно его последнего положения, а не к точным координатам . В нашем примере, поскольку размеры нашего квадрата — 80 x 80, элемент <path> можно записать так:

 <path d="M10 10 h 80 v 80 h -80 Z" fill="transparent" stroke="black"/>

Путь начнётся от точки (10,10), пойдёт горизонтально на 80 точек вправо, затем 80 точек вниз, затем 80 точек влево, и затем обратно к старту.

Возможно, в этих примерах было бы проще использовать элементы <polygon> или <polyline>. Однако, пути используются при рисовании SVG настолько часто, что многим разработчикам может быть удобнее использовать их вместо других элементов. Нет никакой разницы в производительности при использовании того или другого.

Существует три различных команды, которые вы можете использовать для создания плавных кривых линий. Две из этих кривых — кривые Безье, а третья — «дуга», или часть окружности. Вы, возможно, уже имели практический опыт с кривыми Безье, если работали с путями (paths) в программах lnkscape, Illustrator или Photoshop. Для полного описания математических понятий о кривых Безье, попробуйте пройти по ссылке на Wikipedia. Информации о кривых Безье слишком много, чтобы попытаться охватить её здесь. Существует бесчисленное множество различных типов кривых Безье, но только две простые доступны для элементов путей: кубическая, C, и квадратная, Q.

Кривые Безье

Кубическая кривая, C, представляет собой немного более сложную кривую. Кубическая Безье принимает две контрольные точки для каждой точки. Таким образом, чтобы создать кубическую кривую Безье, вам необходимо указать три набора координат.

 C x1 y1, x2 y2, x y (or c dx1 dy1, dx2 dy2, dx dy)

Последний набор координат (x,y) это точка, в которой заканчивается линия. Две другие — контрольные точки. (x1,y1) контрольная точка для начала вашей кривой, а (x2,y2) для конца вашей кривой. Если вы знакомы с вычислительной алгеброй, контрольные точки в описывают наклон вашей линии в каждой точке. Функция Безье создаёт плавную кривую, которая ведёт от наклона, который вы установили в начале вашей линии к наклону на другом конце.

<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <path d="M10 10 C 20 20, 40 20, 50 10" stroke="black" fill="transparent"/>
  <path d="M70 10 C 70 20, 120 20, 120 10" stroke="black" fill="transparent"/>
  <path d="M130 10 C 120 20, 180 20, 170 10" stroke="black" fill="transparent"/>
  <path d="M10 60 C 20 80, 40 80, 50 60" stroke="black" fill="transparent"/>
  <path d="M70 60 C 70 80, 110 80, 110 60" stroke="black" fill="transparent"/>
  <path d="M130 60 C 120 80, 180 80, 170 60" stroke="black" fill="transparent"/>
  <path d="M10 110 C 20 140, 40 140, 50 110" stroke="black" fill="transparent"/>
  <path d="M70 110 C 70 140, 110 140, 110 110" stroke="black" fill="transparent"/>
  <path d="M130 110 C 120 140, 180 140, 170 110" stroke="black" fill="transparent"/>
</svg>

Пример сверху показывает девять кубических кривых Безье. Чем ближе к левому краю изображения, тем более горизонтально разделёнными становятся контрольные точки. Ближе к правому, становятся более отделёнными от конечных точек. Стоит отметить, что кривая начинается в направлении первой контрольной точки, а затем изгибается, переходя в направление второй контрольной точки.

Вы можете связать вместе несколько кривых Безье, чтобы создавать более длинные плавные формы. В таком случае часто контрольные точки на разных сторонах будут отображением друг друга (чтобы поддерживать постоянный наклон). В этом случае можно использовать сокращённую запись для кривой Безье, используя команду S (или s).

 S x2 y2, x y (or s dx2 dy2, dx dy)

Команда S задаёт тот же тип кривой, что и был, но если он следует за другой S или C командой, подразумевается, что первая контрольная точка — отражение той, что использовалась перед этим. Если команда S не следует за другой командой S или C, то подразумевается, что текущая позиция курсора используется как первая контрольная точка. Пример синтаксиса показан ниже. В фигуре слева контрольные точки показаны красным, а подразумеваемая контрольная точка — синим.

<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <path d="M10 80 C 40 10, 65 10, 95 80 S 150 150, 180 80" stroke="black" fill="transparent"/>
</svg>

Другой тип кривой Безье — квадратичная кривая, задаётся командой Q. Квадратичная кривая проще, чем кубическая: для неё требуется только одна контрольная точка, которая определяет наклон кривой как в начальной, так и в конечной точке. Она принимает два аргумента: контрольную точку и конец кривой.

 Q x1 y1, x y (or q dx1 dy1, dx dy)

<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <path d="M10 80 Q 95 10 180 80" stroke="black" fill="transparent"/>
</svg>

Как и в случае кубической кривой Безье, существует сокращение для соединения нескольких квадратичных кривых Безье -T.

 T x y (or t dx dy)

Как и ранее, сокращение смотрит на предыдущую контрольную точку, которую вы использовали, и выводит из неё новую. Это означает, что после первой контрольной точки вы можете делать довольно сложные фигуры, указав только конечные точки.

Примечание: Обратите внимание, что это работает только в том случае, если предыдущей командой была команда Q или T. Если это не так, то контрольная точка считается той же, что и предыдущая, и вы нарисуете только линии.

<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <path d="M10 80 Q 52.5 10, 95 80 T 180 80" stroke="black" fill="transparent"/>
</svg>

Обе кривые дают похожие результаты, но кубическая кривая позволяет больше свободы в том, как должна выглядеть кривая. Решение, какую кривую использовать — ситуационное и зависит от количества симметрии в линиях.

Дуги

Другой тип кривых линий, которые можно создать с помощью SVG — дуга (команда A). Дуги — секции кругов или эллипсов. При заданных x- и y-радиусах есть два эллипса, которые могут соединяться любыми двумя точками (пока они находятся внутри радиуса круга). Вдоль любого из этих кругов есть два пути, которые могут использовать для соединения точек, так что в любой ситуации возможно 4 дуги.

 A rx ry x-axis-rotation large-arc-flag sweep-flag x y
 a rx ry x-axis-rotation large-arc-flag sweep-flag dx dy

В начале элемент дуги принимает два аргумента радиусов. Если нужно, обратитесь к разделу Эллипсы, чтобы увидеть, как они работают. Последние два аргумента предназначены для обозначения координат окончания дуги. Вместе эти четыре значения определяют основную структуры дуги.

Третий параметр описывает поворот дуги. См. пример ниже

<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <path d="M10 315
           L 110 215
           A 30 50 0 0 1 162.55 162.45
           L 172.55 152.45
           A 30 50 -45 0 1 215.1 109.9
           L 315 10" stroke="black" fill="green" stroke-width="2" fill-opacity="0.5"/>
</svg>

Пример показывает элемент path, который проходит по странице диагонально. В центре этого элемента вырезаны две эллиптические дуги (радиус x = 30, радиус y = 50). В первой дуге параметр x-asix-rotation = 0, а это означает, что эллипс, по которому проходит дуга (показан серым) расположен вертикально. Во второй дуге параметр x-asix-rotation = -45. Это поворачивает эллипс так, что направление его малой оси совпадает с направлением пути, как это видно на рисунке выше.

Четыре разных пути, упомянутых выше определяются с помощью двух аргументов-флагов. Как упоминалось ранее, есть ещё два возможных эллипса для обхода пути и два разных возможных пути на обоих эллипсах, что даёт четыре возможных пути. Первый аргумент — large-arc-flag. Он определяет, должна ли дуга быть больше или меньше 180 градусов. В конечном счёте этот флаг определяет, в каком направлении дуга будет обходить данный круг. Второй аргумент — sweep-flag. Он определяет, должна дуга двигаться по отрицательным углам или по положительным, т.е. по сути определяет по какому из двух кругов она будет идти. Пример ниже показывает все четыре возможные комбинации.

<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <path d="M 10 315
           L 110 215
           A 36 60 0 0 1 150.71 170. 29
           L 172.55 152.45
           A 30 50 -45 0 1 215.1 109.9
           L 315 10" stroke="black" fill="green" stroke-width="2" fill-opacity="0.5"/>
  <circle cx="150.71" cy="170.29" r="2" fill="red"/>
  <circle cx="110" cy="215" r="2" fill="red"/>
  <ellipse cx="144.931" cy="229.512" rx="36" ry="60" fill="transparent" stroke="blue"/>
  <ellipse cx="115.779" cy="155.778" rx="36" ry="60" fill="transparent" stroke="blue"/>
</svg>

Заметьте, что каждый голубой эллипс сформирован двумя дугами, в зависимости от того движетесь ли вы по часовой или против часовой стрелке. Каждый эллипс имеет короткую и длинную дуги. Оба эллипса просто зеркальные отражения друг друга. Они отражены вдоль линии, сформированной start->end точками.

Если start->end точки расположены далеко и не попадают в пределы градусов эллипсов по x и y, то в этом случае радиусы эллипсов будут увеличены до величины, нужной чтобы достичь точек start->end. Интерактивный codepen внизу этой страницы наглядно это демонстрирует. Для определения достаточны ли велики радиусы ваших эллипсов чтобы требовать увеличения, вам нужно решить систему уравнений подобную этой на wolfram alpha. Это вычисление для non-rotated эллипса с start->end (110, 215)->(150.71, 170.29). Решением, (x, y), является центр эллипса(ов). Следующее вычисление для non-rotated эллипса с start->end (110, 215)->(162.55, 162.45). Решение будет мнимым если радиусы ваших эллипсов слишком малы. Решение содержит небольшой мнимый компонент потому, что эллипсы были лишь слегка расширены.

Четыре разных пути, упомянутых выше определяются с помощью двух аргументов-флагов. Как упоминалось ранее, есть ещё два возможных эллипса для обхода пути и два разных возможных пути на обоих эллипсах, что даёт четыре возможных пути. Первый аргумент — large-arc-flag. Он определяет, должна ли дуга быть больше или меньше 180 градусов. В конечном счёте этот флаг определяет, в каком направлении дуга будет обходить данный круг. Второй аргумент — sweep-flag. Он определяет, должна дуга двигаться по отрицательным углам или по положительным, т.е. по сути определяет по какому из двух кругов она будет идти. Пример ниже показывает все четыре возможные комбинации.

<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <path d="M80 80
           A 45 45, 0, 0, 0, 125 125
           L 125 80 Z" fill="green"/>
  <path d="M230 80
           A 45 45, 0, 1, 0, 275 125
           L 275 80 Z" fill="red"/>
  <path d="M80 230
           A 45 45, 0, 0, 1, 125 275
           L 125 230 Z" fill="purple"/>
  <path d="M230 230
           A 45 45, 0, 1, 1, 275 275
           L 275 230 Z" fill="blue"/>
</svg>

Последние два аргумента, если вы ещё не догадались, обозначают координаты x и y, где заканчивается дуга. Дуги — лёгкий способ создавать части кругов или эллипсов в ваших рисунках. Например, круговая диаграмма требует отдельную дугу для каждого куска диаграммы.

Если вы переходите в SVG из Canvas а, дуги могут быть самой трудной вещью для изучения, но они также очень мощные. Т.к. начальная и конечные точки для любого пути, обходящего круг, одно и то же место, существует бесконечное количество кругов, которые могут быть выбраны и действительный путь не определён. Возможно приблизить их, сделав начальную и конечную точку пути слегка разными и соединив их с другими сегментами пути. В этой точке, часто проще использовать настоящий круг или эллипс. Это интерактивное демо может помочь понять основные принципы SVG-дуг: http://codepen.io/lingtalfi/pen/yaLWJG (протестировано только в Chrome и Firefox, может не работать в вашем браузере)

• « Предыдущая статья
• Следующая статья »

Last modified: 7 нояб. 2022 г., by MDN contributors

Кривая Безье в компьютерной графике | Примеры

Кривая Безье-

Кривая Безье может быть определена как-

• Кривая Безье — это параметрическая кривая, определяемая набором контрольных точек.
• Две точки являются концами кривой.
• Другие точки определяют форму кривой.

Понятие кривых Безье было дано Пьером Безье.

Пример кривой Безье-

Следующая кривая является примером кривой Безера-

ЗДЕСЬ,

• Эта кривая Безера определяется набором контрольных точек B ₀ , B ₁ , б ₂ и б ₃ .
• Точки b ₀ и b ₃ являются концами кривой.
• Точки b ₁ и b ₂ определяют форму кривой.

Свойства кривой Безера-

Несколько важных свойств кривой Безера составляют

Свойства-01:

Bezier Cruve всегда содержится в полигоне, называемом в виде Convvex Hull of Hull of Hull of Hull of Hull of Hull of Hull of Hull of Hull of Hull of Hull of Hull of Hull of Hull of Hull of Hull of Hull of Hull Curve Cruve всегда содержится в полигоне. .

Свойство-02:

• Кривая Безье обычно повторяет форму определяющего ее многоугольника.
• Первая и последняя точки кривой совпадают с первой и последней точками определяющего многоугольника.

Свойство-03:

Степень полинома, определяющего сегмент кривой, на единицу меньше, чем общее количество контрольных точек.

Степень = Количество контрольных точек – 1

Свойство-04:

Порядок полинома отрезка равен общему количеству контрольных точек, определяющих отрезок полинома.

Порядок = количество контрольных точек

Свойство-05:

• Кривая Безье обладает свойством уменьшения вариации.
• Это означает, что кривая не колеблется вокруг какой-либо прямой линии чаще, чем определяющий многоугольник.

Уравнение кривой Безера-

Кривая бекер параметрически представлена ​​

здесь,

• T- это параметр, где 0 <= T <= 1

  ,

  • T- это любой параметр, где 0 <= T <= 1

    .0012

  • P(t) = любая точка, лежащая на кривой Безье
  • B _i = i ^th контрольная точка кривой Безье
  • n = степень кривой
  • J _n,i (t) = Функция смешивания = C(n,i)t ⁱ (1-t) ^n-i , где C(n,i) = n! / я! (н-я)!

   

  Кубическая кривая Безье-

   

  • Кубическая кривая Безье – это кривая Безье степени 3.
  • Общее количество контрольных точек на кубической кривой Безье 4.

  Пример-

  . Следующая кривая- пример кубической кривой Безера-

  Здесь

  • . Эта кривая определяется по 4 Control-Ports B ₀
  • 111111111111111111. , б ₁ , б ₂ и б ₃ .
  • Степень этой кривой равна 3.
  • Итак, это кубическая кривая Безье.

   

  Уравнение кубической кривой Безье-

  Параметрическое уравнение кривой безера составляет

  Замена n = 3 на кубическую кривую Bezir —

  P(t) = B ₀ J _3,0 (t) + B ₁ J _3,1 (t) + B ₂ J _3,2 (t) + B ₃ J _3,3 (t) ………..(1)

   

  Сейчас,

  Используя (2), (3), (4) и (5) в (1), получаем:

   

  ) ³ + B ₁ 3T (1-T) ² + B ₂ 3T ² (1-T) + B ₃ T ³

  7 . параметрическое уравнение для кубической кривой Безье.

   

  Применение кривых Безье-

   

  Кривые Безье применяются в следующих областях-

   

  1. Компьютерная графика-

   

  • Кривые Безье широко используются в компьютерной графике для моделирования гладких кривых.
  • Кривая полностью содержится в выпуклой оболочке своих контрольных точек.
  • Таким образом, точки можно отображать графически и использовать для интуитивного управления кривой.

   

  2. Анимация-

   

  • Кривые Безье используются для описания движения в анимационных приложениях, таких как Adobe Flash и synfig.
  • Пользователи обрисовывают желаемый путь кривыми Безье.
  • Приложение создает необходимые кадры для перемещения объекта по траектории.
  • В 3D-анимации кривые Безье часто используются для определения 3D-путей, а также 2D-кривых.

   

  3. Шрифты-

   

  • Шрифты True Type используют составные кривые Безье, состоящие из квадратичных кривых Безье.
  • Современные системы обработки изображений, такие как Postscript, Asymptote и т. д., используют составные кривые Безье, состоящие из кубических кривых Безье, для рисования криволинейных форм.

  Практические задачи, основанные на кривой Безера в компьютерной графике-

  Проблема-01:

  Учитывая кривая BEZIE , B ₁ [3 3] , B ₂ [6 3] , B ₃ [8 1]

  Определить любые 5 точек, лежащих на кривой. Также нарисуйте грубый набросок кривой.

   

  Решение-

   

  Имеем-

  • Данная кривая определяется 4 контрольными точками.
  • Итак, данная кривая является кубической кривой Безье.

   

  Параметрическое уравнение для кубической кривой Безье: В0042 0 , B ₁ , B ₂ и B ₃ , получаем-

  P(t) = [1 0](1-t) ³ + [3 3]3t(1- t) ² + [6 3]3t ² (1-t) + [8 1]t ³ ……..(1)

   

  Теперь,

  Чтобы получить 5 очков, лежащих на кривой, предположим любые 5 значений t, лежащих в диапазоне 0 <= t <= 1.

  Пусть 5 значений t равны 0, 0,2, 0,5, 0,7, 1

   

  Подставив t=0 в (1), получим-

  P(0) = [1 0](1-0) ³ + [3 3]3(0)(1-t) ² + [6 3]3(0) ² (1 -0) + [8 1](0) ³

  P(0) = [1 0] + 0 + 0 + 0

  P(0) = [1 0]

   

  Для t = 0,2:

   

  Подставив t=0,2 в (1), получим —

  P(0,2) = [1 0](1-0,2) ³ + [3 3]3(0,2)(1- 0,2) ² + [6 3]3(0,2) ² (1-0,2) + [8 1](0,2) ³

  P(0,2) = [1 0](0,8) ³ + [3 3]3(0,2)(0,8) ² + [6 3]3(0,2) ² (0,8) + [8 1](0,2) ³

  P(0,2) = [1 0] x 0,512 + [3 3] x 3 x 0,2 x 0,64 + [6 3] x 3 x 0,04 x 0,8 + [8 1] x 0,008

  P(0,2) = [1 0] x 0,512 + [3 3] x 0,384 + [6 3] x 0,096 + [8 1] x 0,008

  P(0,2) = [0,512 0] + [1,152 1,152] + [0,576 0,288] + [0,064 0,008]

  P( 0,2) = [2,304 1,448]

   

  Для t = 0,5:

   

  Подставив t=0,5 в (1), получим:0007

  P(0,5) = [1 0](1-0,5) ³ + [3 3]3(0,5)(1-0,5) ² + [6 3]3(0,5) ² (1 -0,5) + [8 1](0,5) ³

  P(0,5) = [1 0](0,5) ³ + [3 3]3(0,5)(0,5) ² + [6 3 ]3(0,5) ² (0,5) + [8 1](0,5) ³

  P(0,5) = [1 0] x 0,125 + [3 3] x 3 x 0,5 x 0,25 + [6 3 ] x 3 x 0,25 x 0,5 + [8 1] x 0,125

  P(0,5) = [1 0] x 0,125 + [3 3] x 0,375 + [6 3] x 0,375 + [8 1] x 0,125

  P(0,5) = [0,125 0] + [1,125 1,125] + [2,25 1,125] + [1 0,125]

  P(0,5) = [4,5 2,375]

   

  Для t = 0,7:

   

  1-т) ³ + [3 3]3т(1-т) ² + [6 3]3т ² (1-т) + [8 1]т ³

  Р(0,7) = [1 0](1-0,7) ³ + [3 3]3(0,7)(1-0,7) ² + [6 3]3(0,7) ² (1-0,7) + [8 1](0,7) ³

  P(0,7) = [1 0](0,3) ³ + [3 3]3(0,7)(0,3) ² + [6 3]3(0,7) ² (0,3) + [8 1](0,7) ³

  P(0,7) = [1 0] x 0,027 + [3 3] x 3 x 0,7 x 0,09 + [6 3] х 3 х 0,49 х 0,3 + [8 1] х 0,343

  P(0,7) = [1 0] х 0,027 + [3 3] х 0,189 + [6 3] х 0,441 + [8 1 ] x 0,343

  P (0,7) = [0,027 0] + [0,567 0,567] + [2,646 1,323] + [2,744 0,343]

  P (0,7) = [5,984 2,233]

  Для T = 1: 1: 233]

  для T -= 1: 1 :233]

   

  Подставив t=1 в (1), получим:

  P(1) = [1 0](1-1) ³ + [3 3]3(1)(1-1) ² + [6 3]3(1) ² (1-1) + [8 1](1) ³

  P(1) = [1 0] x 0 + [3 3] x 3 x 1 x 0 + [6 3] x 3 x 1 x 0 + [8 1] x 1

  P(1) = 0 + 0 + 0 + [8 1]

  P(1) = [8 1]

   

  Ниже приведен необходимый грубый набросок кривой: ,

  Смотреть видео Лекция

   

  Получить больше заметок и других учебных материалов Компьютерная графика .

  Смотрите видеолекции, посетив наш канал YouTube LearnVidFun.

  Сводка

  Кривая Безье. Поймите математику Безье… | by Omar Aflak

  Понимание математики кривых Безье

  Кривые Безье часто используются в компьютерной графике, часто для создания гладких кривых, и тем не менее они являются очень простым инструментом. Если вы когда-либо использовали Photoshop, вы могли наткнуться на инструмент под названием «Якорь», где вы можете ставить опорные точки и рисовать с их помощью какие-то кривые… Да, это кривые Безье. Или, если вы использовали векторную графику, SVG, они тоже используют кривые Безье. Посмотрим, как это работает.

  Учитывает N+1 баллов (P0,…, PN) под названием Контрольные точки , Курвиер Bézier Defined By Defined By Defined ag. 1

  Где B(t) — полином Бернштейна, а:

  экв. 2

  Вы заметите, что этот многочлен Бернштейна очень похож на член k(th) в биномиальной формуле Ньютона, который равен:

  экв. 3

  На самом деле многочлен Бернштейна есть не что иное, как 9n = 1. Вот почему, если вы суммируете все Bi до n , вы получите 1 . В любом случае.

  Квадратичная кривая Безье — это то, как мы называем кривую Безье с 3 контрольными точками, поскольку степень P(t) будет равна 2. Давайте рассчитаем кривую Безье с учетом 3 контрольных точек и исследуем некоторые свойства, которые мы можем найти! Помните, экв. 1 соответствует n+1 точек, поэтому в нашем случае n=2.

  экв. 4

  Имейте в виду, что P(t) возвращает не число, а точку на кривой. Теперь нам осталось выбрать три контрольные точки и оценить кривую в диапазоне [0, 1] . Мы можем сделать это в Python довольно легко.

  Вы можете заметить, что кривая начинается и заканчивается в первой и последней контрольных точках. Этот результат будет верным для любого количества точек. Поскольку t варьируется от 0 до 1 , мы можем доказать это, оценив P(t) при t=0 и t=1 . Используя экв. 1 :

  экв. 4 экв. 5

  Поскольку кривая проходит от P0 до P2 , в этом случае P1 полностью определяет форму кривой . Перемещаясь P1 вокруг вы можете кое-что заметить:

  Кривая Безье всегда содержится в многоугольнике, образованном контрольными точками. Этот многоугольник поэтому называется контрольный многоугольник , или многоугольник Безье. Это свойство также сохраняется для любого количества контрольных точек, что делает управление ими интуитивно понятным при использовании программного обеспечения.

  На самом деле мы можем представить формулу Безье, используя умножение матриц, что может быть полезно в других случаях, например, для разделения кривой Безье. Если мы вернемся к нашему примеру, мы можем переписать P(t) следующим образом:

  экв. 6

  Итак, вся информация о квадратичной кривой Безье сжата в одну матрицу, М . Теперь мы можем захотеть найти коэффициенты этой матрицы, не выполняя все эти шаги и легко программируемым способом. Поскольку коэффициенты матрицы — это просто коэффициенты многочлена перед каждым Pi , то, что мы ищем, — это расширенная форма многочлена Бернштейна экв. 2 .

  Еще одно: если мы разложим Bi(t) на , мы получим многочлен перед Pi , что соответствует i(му) столбцу в матрице. Однако это не очень удобно, и было бы проще программировать, если бы вместо этого мы могли получать строки. Тем не менее, вы можете заметить, что i (я) строка матрицы точно такая же, как перевернутый (n-i) (th) столбец , и коэффициенты перевернутого (n-i) (th) столбца есть не что иное, как коэффициенты B(n-i)(t) , взятые в убывающей степени t .