Резюме

Учащиеся открывают для себя математическую константу фи, золотое сечение, посредством практических занятий. Они измеряют размеры «природных объектов» — звезды, раковины наутилуса и костей рук человека — и рассчитывают отношения измеренных величин, близкие к фи. Затем учащиеся изучают базовое определение математической последовательности, в частности, последовательности Фибоначчи. Взяв соотношения последовательных членов последовательности, они находят числа, близкие к фи. Они решают головоломку с квадратами, которая создает приблизительную спираль Фибоначчи. Наконец, инструктор демонстрирует правило последовательности Фибоначчи с помощью робота LEGO® MINDSTORMS® EV3, оснащенного ручкой. Робот (уже созданный в рамках сопутствующей деятельности «Последовательность Фибоначчи и роботы») рисует спираль Фибоначчи, похожую на форму наутилуса.

Инженерное подключение

фи, возможно, одна из самых важных математических констант. От великих пирамид до Парфенона это число проявляется в формах и масштабах многих инженерных проектов и архитектурных подвигов. В искусстве эта константа используется для количественной оценки эстетической красоты, например, в Моне Лизе да Винчи или даже в лице красивого человека. Это упражнение основано на вездесущности этого числа, чтобы познакомить учащихся с дискретной математикой и распространить идею математической последовательности на основы программирования с использованием программного обеспечения EV3 MINDSTORMS.

Цели обучения

После этого задания учащиеся должны уметь:

• Объясните общий термин последовательности Фибоначчи.
• Опишите примеры фи в природе.
• Определить фи как предел соотношения членов последовательности Фибоначчи.

Образовательные стандарты

Каждый Урок или занятие TeachEngineering связано с одной или несколькими науками K-12,
технологические, инженерные или математические (STEM) образовательные стандарты.

Все более 100 000 стандартов K-12 STEM, включенных в TeachEngineering , собираются, поддерживаются и упаковываются сетью стандартов достижений (ASN) ,
проект D2L (www.achievementstandards.org).

В ASN стандарты структурированы иерархически: сначала по источнику; напр. , по штатам; внутри источника по типу; напр. , естествознание или математика;
внутри типа по подтипу, затем по классам, и т.д. .

Общие базовые государственные стандарты — математика

• Свободно делите многозначные числа по стандартному алгоритму.
  (Оценка
  6)

  Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом?

  Спасибо за ваш отзыв!

• Свободно складывать, вычитать, умножать и делить многозначные десятичные числа, используя стандартный алгоритм для каждой операции.
  (Оценка
  6)

  Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом?

  Спасибо за ваш отзыв!

• Используйте рассуждения о соотношении для преобразования единиц измерения; правильно манипулировать и преобразовывать единицы при умножении или делении величин.
  (Оценка
  6)

  Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом?

  Спасибо за ваш отзыв!

• Исследуйте закономерности ассоциации в двумерных данных.
  (Оценка
  8)

  Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом?

  Спасибо за ваш отзыв!

• Учтите, что последовательности — это функции, иногда определяемые рекурсивно, областью определения которых является подмножество целых чисел.
  (Оценки
  9 —
  12)

  Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом?

  Спасибо за ваш отзыв!

Международная ассоциация преподавателей технологий и инженерии — Технология

• Применяйте концепции дизайна, принципы и процессы, играя и исследуя.
  (Оценки
  Пре-К —
  2)

  Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом?

  Спасибо за ваш отзыв!

• Объясните, как могут существовать различные отношения между технологией и инженерией и другими областями контента.
  (Оценки
  3 —
  5)

  Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом?

  Спасибо за ваш отзыв!

• Проектируйте решения, безопасно используя инструменты, материалы и навыки.
  (Оценки
  3 —
  5)

  Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом?

  Спасибо за ваш отзыв!

ГОСТ

Предложите выравнивание, не указанное выше

Какое альтернативное выравнивание вы предлагаете для этого контента?

Подписывайся

Подпишитесь на нашу рассылку новостей, чтобы получать внутреннюю информацию обо всем, что связано с TeachEngineering, например, о новых функциях сайта, обновлениях учебных программ, выпусках видео и многом другом!

PS: Мы никому не передаем личную информацию и электронные письма.

Список материалов

Каждой группе нужно:

• линейка
• карандаши
• калькулятор
• ламинированная головоломка с квадратами Фибоначчи, сделанная из плакатного картона (используйте шаблон головоломки с квадратами)
• Квадраты мозгового штурма, по одному экземпляру на пару учащихся
• Рабочий лист Math Adventurers, по одному экземпляру на пару учащихся

Чтобы поделиться со всем классом:

• несколько ламинированных копий трехстраничного приложения Natural Pictures, достаточное для того, чтобы каждая группа могла иметь по крайней мере одно изображение одновременно

Для демонстрации робота-учителя:

• Набор LEGO EV3 (собираемый и программируемый робот), доступный по адресу https://shop.lego.com/en-US/LEGO-MINDSTORMS-EV3-31313, 349,99 долларов США, с роботом, сконструированным и запрограммированным, как в «Последовательности Фибоначчи и роботы». занятие
• большие листы бумаги

Лента

• для крепления бумаги к полу и маркера к роботу
• маркер

Примечание. Это задание также можно выполнять с более старым (и более не продаваемым) набором LEGO MINDSTORMS NXT вместо EV3

Рабочие листы и вложения

Квадраты мозгового штурма (doc)

Квадраты мозгового штурма (pdf)

Квадраты мозгового штурма Ответы (doc)

Квадраты мозгового штурма Ответы (pdf)

Natural Pictures (pdf)

Шаблон головоломки «

Квадраты» (pdf)

Рабочий лист Math Adventurers (doc)

Рабочий лист Math Adventurers (pdf)

Ответы на рабочий лист Math Adventurers (doc)

Ответы на рабочий лист

Math Adventurers (pdf)

Программа робота последовательности Фибоначчи MINDSTORMS EV3 (ev3)

Программа робота последовательности Фибоначчи MINDSTORMS NXT (rbt)

Посетите [www. teachengineering.org/activities/view/nyu_phi_activity1], чтобы распечатать или загрузить.

Больше учебных программ, подобных этому

Деятельность средней школы

Последовательность Фибоначчи и роботы

Используя набор для робототехники LEGO® EV3, учащиеся собирают и программируют роботов, чтобы проиллюстрировать и исследовать последовательность Фибоначчи. Разработав робота, который движется на основе последовательности чисел Фибоначчи, они могут лучше визуализировать, как быстро растут числа в последовательности.

Последовательность Фибоначчи и роботы

Предварительные знания

Способность выполнять деление и понимание основной концепции функции.

Введение/Мотивация

Математическая константа фи изучается по крайней мере с 300 г. до н.э., когда она была определена греческим математиком Евклидом. Формализация фи могла быть мотивирована его присутствием в пентаграмме, обычном религиозном символе того времени. Он встречается повсюду в природе, от раковин улиток и головок цветочных семян до многих растительных узоров, таких как ананасы, папоротники и сосновые шишки. И он играет ключевую роль в западной эстетике и архитектуре. Фи, как соотношение, занимает видное место в работах да Винчи и Дали. Кроме того, фи наблюдается во многих областях математики, от геометрии, такой как правильные пирамиды, до теории чисел, такой как аппроксимационная теорема Лагранжа.

«Золотое сечение», фи, основанное на последовательности Фибоначчи, можно увидеть в природе в спирали раковин и в приятных пропорциях архитектурных сооружений, таких как древний Парфенон в Афинах, Греция.

Copyright

Copyright © (слева) Корпорация Microsoft, 2004, One Microsoft Way, Redmond, WA 98052-6399 USA. (справа) Гленларсон, Википедия (Полиция США) http://en. wikipedia.org/wiki/File:Acropolis_of_Athens_01361.JPG

В ходе сегодняшнего задания вы «откроете» фи двумя способами: с помощью моделирования и путем изучения конкретных математических объектов.

Математический источник фи, последовательность Фибоначчи, представляет собой последовательность, образованную путем добавления двух последовательных членов для получения следующего члена. (При необходимости используйте классную доску или проектор, чтобы показать учащимся, как генерировать следующие термины.) Если я начну с 0 и 1, кто скажет мне следующие несколько чисел в последовательности? (Ответ: 1, 2, 3, 5.)

В части этого задания, связанной с головоломкой с квадратами, вы можете решить эту головоломку различными способами, составляя все более крупные прямоугольники с длинами сторон в соответствии с последовательностью Фибоначчи. Далее вы будете думать о том, как эти прямоугольники соотносятся друг с другом. Получается, что отношение последовательных членов последовательности Фибоначчи равно фи.

(Предположим, что вы выполнили сопутствующее задание «Последовательность Фибоначчи и роботы…») Теперь давайте подумаем о роботах, которых мы запрограммировали с помощью последовательности Фибоначчи. Как робот выполнял ваши команды (программу) при выполнении последовательности Фибоначчи? Точно выполнял ли робот ваши приказы? Насколько точным вам нужно было программировать робота? (Ожидайте, что учащиеся смогут понять, что робот делает только то, что ему приказано делать; например, он не способен делать ошибки при сложении.) Такая точность необходима инженерам при программировании робототехнических технологий, таких как роботизированные руки. используется в литейных или хирургических. Сегодня мы также собираемся запрограммировать робота, чтобы он следовал пропорции фи, и посмотрим, что произойдет.

Процедура

Перед занятием

• Соберите материалы и сделайте копии Квадратов мозгового штурма и Рабочий лист математических авантюристов (по одному на каждые два ученика).
• Распечатайте и заламинируйте достаточное количество копий трехстраничного документа Natural Pictures, чтобы каждая группа могла иметь по крайней мере одну картинку в любой момент времени.
• Используя шаблон пазла «Квадраты», вырежьте и заламинируйте кусочки картона для плакатов, отметив размер на каждом кусочке, чтобы получилось по одному пазлу на группу.
• Соберите и запрограммируйте робота LEGO EV3 в соответствии с заданием «Последовательность Фибоначчи и роботы».
• Используйте ленту, чтобы прикрепить большие листы бумаги к полу для рисования робота.
• Используйте ленту, чтобы прикрепить маркер к роботу, чтобы маркер рисовал на полу, когда робот движется.

Со студентами

1. Разделите класс на пары учеников.
2. Раздайте каждой группе: линейку, калькулятор, лист с квадратами для мозгового штурма, рабочий лист, головоломку с квадратами и одну картинку.
3. Начните с того, что команды выполнят упражнение «Мозговой штурм», следуя инструкциям на листе, как описано в разделе «Оценка».
4. Познакомить с понятием математической константы, в частности фи, как представлено в разделе «Введение/Мотивация». Примечание. Возможно, учащиеся уже знакомы с постоянной пи, и это может послужить хорошей отправной точкой для дальнейшего обсуждения констант.

   Copyright

   Copyright © 2010 Николь Абаид, AMPS, NYU-Poly

5. Покажите всему классу каждую из трех «природных картинок» и назовите каждую: человеческая рука, наутилус и пятиконечная звезда (см. рис. 1). Каждый из этих объектов можно рассматривать как обладающий золотым сечением, фи. Предложите группам учащихся заполнить часть 1 рабочих листов, выполнив следующие действия:

• Пусть каждая команда назначит замерщика и регистратора.
• Глядя на картинку, измеритель использует линейку для измерения длин A, B и C и передает эти числа на записывающее устройство.
• Регистратор записывает измерения в рабочий лист и использует калькулятор для определения отношений измеренных длин, заполняя оставшуюся часть Части 1 рабочего листа.
• Команды обмениваются картинками и повторяют это задание, пока все группы не рассмотрят все три картинки.

6. Проведите обсуждение в классе, чтобы сравнить результаты. Спросите: каков был тренд отношений, найденных на картинках? Рисунок 2. Головоломка с заполненными квадратами, представляющая собой мозаику из квадратов, размеры сторон которых представляют собой последовательные порядковые числа Фибоначчи. Диагональные линии, проходящие через каждый квадрат, напоминают форму золотой спирали.

   Copyright

   Copyright © 2010 Николь Абаид, AMPS, NYU-Poly

7. Познакомить с понятием математической последовательности, в частности последовательности Фибоначчи.

• См. историю и информацию в разделе «Введение/Мотивация».
• Пройдите вместе с классом первые четыре или пять членов последовательности и соберите первые две или три части квадратной головоломки.
• Пусть пары вместе заполнят часть 2 рабочего листа, найдя дополнительные члены последовательности Фибоначчи, а также отношения последовательных членов.
• Предложите учащимся решить головоломку с квадратами (см. рис. 2).

8. Соберите класс для окончательного обсуждения их ответов на листах и ​​головоломки с квадратами. Соотнесите наличие фи в этом математическом объекте. Обсудите взаимосвязь длин сторон квадратов в головоломке и последовательности Фибоначчи. Эта конкретная программа предназначена для перемещения робота LEGO EV3 по спирали Фибоначчи. Блоки Motor Move запрограммированы на использование расстояний в соответствии с последовательностью Фибоначчи.

   Copyright

   Copyright © LEGO MINDSTORMS

Рис. 4. Робот LEGO EV3 с прикрепленной ручкой.

Авторские права

Авторские права © Университет Колорадо в Боулдере

9. Продемонстрируйте движение робота LEGO EV3 в соответствии с правилом последовательности Фибоначчи. Если возможно, покажите измененный код MINDSTORMS из сопутствующего занятия («Последовательность Фибоначчи и роботы»), в котором робот перемещается на расстояния, определяемые последовательностью Фибоначчи, а также совершает повороты под прямым углом, см. рис. 3. Если учащиеся не знакомы с программным обеспечением, объясните компоненты программы. Затем проведите демонстрацию:

• Установите робота на листы бумаги, приклеенные скотчем к полу, с прикрепленным маркером так, чтобы по мере движения робота рисовалась линия, см. рис. 4.
• Попросите учащихся угадать, какую фигуру нарисует робот.
• Запустите программу, пока класс наблюдает. (Робот должен нарисовать спираль Фибоначчи.)
• Обсудите, как с помощью робота мы можем визуально воспринимать фи, встроенные в последовательность Фибоначчи.

10. Завершите мероприятия по оценке деятельности, предложенные в разделе «Оценка».

Словарь/Определения

предел последовательности: число, к которому приближаются члены последовательности по мере продвижения по порядку последовательности.

phi: математическая константа, равная примерно 1,61803, рассчитанная путем отношения между последовательными членами последовательности Фибоначчи. Чем выше вы поднимаетесь в последовательности Фибоначчи, тем больше отношение между двумя последовательными числами приближается к фи. Также называется «золотой пропорцией». (Произносится: «плата»)

последовательность (числовая): Упорядоченный набор чисел, расположенных в соответствии с правилом.

термин: одно из чисел в последовательности.

Оценка

Предварительная оценка

Квадраты мозгового штурма : Разделите класс на группы по два человека. Раздайте каждой группе копию Квадратов мозгового штурма и линейку. Поручите учащимся, работающим в парах, найти математические закономерности в размерах квадратов на спиральном рисунке в раздаточном материале. Дайте учащимся пять минут, чтобы придумать три наблюдения, основанные на измерениях, о том, как квадраты соотносятся друг с другом. По истечении пяти минут пусть несколько групп поделятся с классом тем, что они узнали. Скажите классу, что к концу этого задания они будут точно знать, как эти квадраты связаны друг с другом!

Встроенная оценка активности

Рабочий лист : Пусть каждая пара учащихся заполнит рабочий лист Math Adventures, произведя измерения и расчеты, а также ответив на вопросы. Просмотрите их ответы, чтобы оценить их понимание пройденного материала.

Предсказание : Чтобы узнать, следуют ли учащиеся, после объяснения программы робота попросите учащихся предсказать форму, которую, по их мнению, должен нарисовать робот.

Послеоперационная оценка

Настройка последовательности : Предложите учащимся подумать, что произойдет, если мы захотим, чтобы робот прошел другое начальное расстояние. Изменит ли это соотношение, которое раньше давало нам фи? (Ответ: Нет! Даже если бы отдельные числа изменились, отношения были бы пропорционально одинаковыми и по-прежнему должны приближаться к фи. Помните, что фи определяется отношением членов, а это не зависит от начальных условий.)

Engineering Phi : Предложите учащимся начать с размышлений о фи в природе, а затем провести мозговой штурм инженерных проектов, которые имитируют природу и золотое сечение как найденную природу (так называемая биомимикрия). Например, было обнаружено, что спиральные вентиляторы и насосы, имеющие ту же форму, что и наутилус, повышают эффективность использования энергии и зданий. В качестве примера см. «PaxFan: эффективный спиральный вентилятор» на веб-сайте компании Treehugger Discovery по адресу https://www.treehugger.com/interior-design/paxfan-an- Effective-spiral-fan.html 9.0003

Советы по устранению неполадок

Проверьте программу робота перед уроком и убедитесь, что лист бумаги достаточно большой, чтобы робот мог нарисовать хотя бы пару витков спирали.

Расширения деятельности

Перед этим заданием проведите сопутствующее задание «Последовательность Фибоначчи и роботы», в ходе которого команды учащихся программируют движение робота LEGO EV3 на основе последовательности чисел Фибоначчи, помогая им визуализировать, как быстро растут числа в последовательности. .

Золотое сечение в основном связано с эстетикой. Предложите учащимся выбрать одну структуру или технологию и представить, что они работают в инженерной фирме, которой было поручено каким-то образом улучшить конструкцию. Попросите их написать абзацы о том, как они могли бы улучшить эстетику дизайна, особенно используя фи.

Масштабирование активности

Для старших классов попросите учащихся сконструировать и запрограммировать робота, как в упражнении «Последовательность Фибоначчи и роботы», используя концепцию переменных, разработанную в этом упражнении. Кроме того, обсудите, как фи появляется в отношениях членов последовательности Фибоначчи независимо от начальных условий. Проиллюстрируйте это на примере робота, изменив стартовые расстояния.

использованная литература

Ливио, Марио. Золотое сечение . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Broadway Books, 2002.

.

Обара, Самуэль. «Золотое сечение в искусстве и архитектуре». Департамент математического образования. Университет Джорджии. По состоянию на 22 декабря 2011 г. (Отличная история, пояснения и наглядные пособия для обучения золотому сечению и золотой спирали.) http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.2000/Obara/Emat6690/Golden%20Ratio/golden.html

Авторские права

© 2013 Регенты Университета Колорадо; оригинал © 2009 Политехнический институт Нью-Йоркского университета

Авторы

Николь Абаид

Программа поддержки

Программа AMPS GK-12, Политехнический институт Нью-Йоркского университета

Благодарности

Это задание было разработано в рамках программы «Применение мехатроники для продвижения науки» (AMPS), финансируемой Национальным научным фондом, грант ГК-12 №. 0741714. Однако это содержание не обязательно отражает политику NSF, и вы не должны предполагать, что оно одобрено федеральным правительством.

Последнее изменение: 24 апреля 2019 г.

Золотая середина: Фибоначчи и золотое сечение | Деятельность

Мероприятия

Что, если бы кто-нибудь сказал вам, что красота — это просто математическое уравнение? Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи, в 1202 году представил западной цивилизации последовательность чисел. Эта последовательность, называемая последовательностью Фибоначчи, раскрывает ряд взаимосвязей, отражающих большую часть физической структуры природы. Начиная с 0 и 1, каждое новое число в ряду представляет собой просто сумму двух предыдущих: 0+1=1+2=3+5=8+13=21 и так далее. Последовательность выглядит так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89….

Теперь о красоте. Когда вы делите число в последовательности на число перед ним, отношение приближается к числу фи (1,618. ..) (игнорируйте 0, 1 и 2). Так как 5 разделить на 3 — это 1,666…, а 8 разделить на 5 — это 1,60.

Золотое сечение, которое представляет собой отношение, основанное на фи , использовалось египтянами для создания своих славных пирамид, греками для проектирования знаменитого Парфенона и художниками эпохи Возрождения как мерило всей красоты. Золотое сечение также известно как Золотая середина, Золотое сечение и Божественная пропорция. Золотое сечение проявляется в пропорциях человеческого тела, животных, растений, ДНК, солнечной системы, а также в пропорциях искусства и архитектуры. И это только начало!

В этом упражнении ваш ребенок разовьет математическое мышление и расширит свой интеллектуальный кругозор, построив спираль роста — спираль, встречающуюся в природе, которую можно предсказать с помощью последовательности Фибоначчи.

Скачать бесплатное занятие

Оценка

Средняя школа

Предмет

Искусство и ремеслаЖивопись и рисунок

Что вам нужно:

• Линейка
• Миллиметровая бумага
• Карандаш

Что вы делаете:

1. Склеивайте миллиметровую бумагу так, чтобы получилось не менее 56 квадратов в ширину и 38 вверх и вниз. Кроме того, не забудьте оставить границу в два квадрата вокруг.
2. От левой границы отсчитайте 36 квадратов дюйма.  Затем отсчитайте 8 квадратов вверх от нижней границы. Нарисуйте прямоугольник на 8-м квадрате вверх (36 дюймов) шириной 1 квадрат и высотой 2 квадрата. Обведите каждый квадрат прямоугольника так, чтобы у вас было два квадрата, 1 на 1, сложенные друг над другом.
3. Прямо справа от этой стопки сделайте квадрат размером 2 блока в ширину и 2 блока в высоту. Вам не нужно намечать квадраты для этой фигуры или любых других фигур, которые вы делаете с этого момента. Убедитесь, что концы прямоугольника (который вы сначала нарисовали) и квадрата совпадают друг с другом. Вы не хотите, чтобы формы были в шахматном порядке.
4. Поверх блока 1×1 и блока 2×2 нарисуйте блок размером 3 квадрата в ширину и 3 квадрата в высоту так, чтобы этот новый блок располагался точно над двумя другими блоками вместе.
5. Непосредственно слева от этих стопок нарисуйте блок размером 5 квадратов в ширину и 5 квадратов в высоту. Он должен быть такой же высоты, как все ваши стопки блоков, и все границы ваших блоков должны касаться друг друга.
6. Под этой группой блоков нарисуйте блок размером 8 квадратов в ширину и 8 квадратов в высоту. Если вы правильно выполнили первые шаги, ваш квадрат из 8 блоков должен точно поместиться в пространстве под группой блоков.
7. Справа нарисуйте квадрат размером 13 на 13 блоков.
8. В пространстве в правом верхнем углу, прямо над другими блоками, нарисуйте квадрат размером 21 на 21 блок. Этот блок должен располагаться точно над группой блоков под ним.
9. Нарисуйте слева квадрат размером 34 на 34 клетки. Ваш документ должен выглядеть так:
10. Теперь пришло время соединить блоки, начиная с первых двух квадратов 1 на 1. Начните с нижнего блока. Нарисуйте изогнутую линию от левого верхнего угла этого блока к его правому нижнему углу. В блоке 2 на 2 справа продолжите изогнутую линию от нижнего левого угла до верхнего правого угла. Когда вы перейдете к блоку 3 на 3, соедините свою кривую из нижнего правого угла в верхний левый угол.