Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Содержание

Золотое отношение (золотое сечение)

Рассмотрим отрезок   AB   и точку   C ,   расположенную внутри него.

Говорят, что точка   C   делит отрезок   AB   в золотом отношении (золотом сечении), если длина отрезка   AB   так относится к длине отрезка   AC ,   как длина отрезка   AC   относится к длине отрезка   CB .   При этом самим золотым отношением (золотым сечением) называют отношение длины отрезка   AB   к длине отрезка   AC .

      Термин «золотое отношение» имеет ряд синонимов: золотое сечение, золотая пропорция, гармоническая пропорция, золотое число, деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Следуя исторической традиции, будем золотое отношение обозначать символом   φ .   Для того, чтобы найти значение   φ ,   введем для длин отрезков   AB   и   AC   обозначения:

|AB| = x,       |AC| = y .

      Тогда длина отрезка   CB   будет выражена формулой:

|CB| = x – y ,

причем числа   x   и   y   будут удовлетворять неравенствам:

x > 0,       y > 0,       x – y > 0.

      В случае, когда точка   C   делит отрезок   AB   в золотом отношении, числа   x   и   y   удовлетворяют уравнению:

где

Выведем уравнение для переменной   φ :

Следовательно,

Поскольку   φ > 1 , то второй корень должен быть отброшен.

      Итак, золотое отношение

что и требовалось получить.

Правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением

Золотое отношение (золотое сечение) встречается в различных областях человеческой деятельности: в скульптуре, архитектуре, живописи, музыке и т.д.

Приведем пример использования золотого отношения в планиметрии. Для этого рассмотрим правильный пятиугольник   A₁A₂A₃A₄A₅ ,   вписанный в окружность радиуса   R   с центром   O .

Заметив, что длины всех диагоналей пятиугольника равны, обозначим длину стороны пятиугольника символом   y ,   а длину диагоналей символом   x .

Теперь рассмотрим треугольник   A₁A₃A₅ .   Этот треугольник является равнобедренным треугольником с основанием   A₁A₅   и боковыми сторонами   A₁A₃   и   A₃A₅ ,   причем

  A₁A₅ = y,      
A₁A₃ = A₃A₅ = x .

Кроме того,

Следовательно,

Теперь, воспользовавшись тем, что

применим для треугольника   A₁A₃A₅   теорему косинусов:

Разделив это равенство на   y²,   и заметив, что

получим соотношение:

Если в этом соотношении ввести, для упрощения записи, переменную   d   по формуле

то возникает уравнение:

d ³ – 2d ² + 1 = 0.

Для того, чтобы решить это уравнение, разложим его левую часть на множители:

В силу того, что

то первый и второй корни должны быть отброшены. Следовательно,

т.е. является золотым отношением.

В результате мы получили, что, во-первых, отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне правильного пятиугольника равно золотому отношению, а, во-вторых, что для самого золотого отношения справедлива формула:

ЗОЛОТАЯ ПРОПОРЦИЯ. НОВЫЙ ВЗГЛЯД | Наука и жизнь

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

‹

›

Открыть в полном размере

Золотую пропорцию в школе не «проходят». И когда один из авторов предлагаемой ниже статьи (кандидат технических наук В. Белянин) рассказал о золотом сечении абитуриентке, собравшейся поступать в МАДИ, в процессе подготовки к экзаменам в институт, задача неожиданно вызвала живой интерес и массу вопросов, на которые «с ходу» не было ответов. Решили искать их вместе, и тогда обнаружились тонкости в золотой пропорции, ускользавшие от исследователей ранее. Совместное творчество привело к работе, которая лишний раз подтверждает созидательные возможности молодежи и вселяет надежду, что язык науки утерян не будет.

Узоры математики, как и узоры художника или узоры поэта, должны быть красивы;
идеи, как и краски или слова, должны сочетаться гармонически. Красота является первым критерием: в мире нет места для безобразной математики.

Дж. Х. Харди

Красота математической задачи служит одним из важнейших стимулов ее нескончаемого развития и причиной порождения многочисленных приложений. Порой проходят десятки, сотни, а иногда и тысячи лет, но люди вновь и вновь находят неожиданные повороты в хорошо известном решении и его интерпретации. Одной из таких долгоживущих и увлекательных задач оказалась задача о золотом сечении (ЗС), отражающая элементы изящества и гармонии окружающего нас мира. Нелишне напомнить, кстати, что, хотя сама пропорция была известна еще Евклиду, термин «золотое сечение» ввел Леонардо да Винчи (см. «Наука и жизнь» №1, 2003 г.).

Геометрически золотое сечение подразумевает деление отрезка на две неравные части так, чтобы большая часть была средним пропорциональным между всем отрезком и меньшей частью (рис. 1).

Алгебраически это выражается следующим образом:

, или ,

или (1)

Исследование этой пропорции еще до ее решения показывает, что между отрезками a и b существуют по крайней мере два удивительных соотношения. Например, из пропорции (1) легко получается выражение,

которое устанавливает пропорцию между отрезками a, b, их разностью и суммой. Поэтому о золотом сечении можно сказать иначе: два отрезка находятся в гармоничном соотношении, если их разность относится к меньшему отрезку так, как больший отрезок относится к их сумме.

Второе соотношение получается, если исходный отрезок принять равным единице: a + b = 1, что очень часто используется в математике. В таком случае

a² — b² = a — b = ab.

Из этих результатов следуют два удивительных соотношения между отрезками а и b:

a² — b² = a — b = ab,(2)

которые будут использованы в дальнейшем.

Перейдем теперь к решению пропорции (1). На практике используют две возможности.

1. Обозначим отношение a/b через . Тогда получим уравнение

x² — x — 1 = 0, (3)

которое имеет иррациональные корни

Обычно рассматривают только положительный корень x₁, дающий простое и наглядное деление отрезка в заданной пропорции. Действительно, если принять целый отрезок за единицу, то, используя значение этого корня x₁, получим a ≈ 0,618, b ≈ 0,382.

Именно положительный корень x₁ уравнения (3) наиболее часто называют золотой пропорцией или пропорцией золотого сечения. Соответствующее геометрическое деление отрезка называют золотым сечением (точка С на рис. 1).

Для удобства дальнейшего изложения обозначим x₁ = D. Общепризнанного обозначения для золотого сечения до сих пор нет. Обусловлено это, видимо, тем, что под ним понимают иногда и другое число, о чем будет сказано ниже.

Оставляемый по обыкновению в стороне отрицательный корень x₂ приводит к менее наглядному делению отрезка на две неравные части. Дело в том, что он дает делящую точку С, которая лежит вне отрезка (так называемое внешнее деление). Действительно, если a + b = 1, то, используя корень x₂, получим a ≈ -1,618, b ≈ 2,618. Поэтому отрезок a необходимо откладывать в отрицательном направлении (рис. 2).

2. Второй вариант решения пропорции (1) принципиально не отличается от первого. Будем считать неизвестным отношение b/a и обозначим его через y. Тогда получим уравнение

y² + y -1 = 0 , (4)

которое имеет иррациональные корни

Если a + b = 1, то, используя корень y₁, получим a = y₁ ≈ 0,618, b ≈ 0,382. Для корня y₂ получим a ≈ -1,618, b ≈ 2,618. Геометрическое деление отрезка в пропорции золотого сечения с использованием корней y₁ и y₂ полностью идентично предыдущему варианту и соответствует рис. 1 и 2.

Положительный корень y₁ непосредственно дает искомое решение задачи, и его также называют золотой пропорцией .

Для удобства обозначим значение корня y₁ = d.

Таким образом, в литературе золотую пропорцию математически выражают числом D1,618 или числом d0,618, между которыми существуют две изумительные связи:

Dd = 1 и D — d = 1. (5)

Доказано, что другой подобной пары чисел, обладающих этими свойствами, не существует.

Используя оба обозначения для золотой пропорции, запишем решения уравнений
(3) и (4) в симметричном виде: = D, = —d, = d, = —D.

Необычные свойства золотого сечения достаточно подробно описаны в литературе [1-4]. Они настолько удивительны, что покоряли разум многих выдающихся мыслителей и создали вокруг себя ореол таинственности.

Золотая пропорция встречается в конфигурации растений и минералов, строении частей Вселенной, музыкальном звукоряде. Она отражает глобальные принципы природы, пронизывая все уровни организации живых и неживых объектов. Ее используют в архитектуре, скульптуре, живописи, науке, вычислительной технике, при проектировании предметов быта. Творения, несущие в себе конфигурацию золотого сечения, представляются соразмерными и согласованными, всегда приятны взгляду, да и сам математический язык золотой пропорции не менее изящен и элегантен.

Кроме равенств (5) из соотношения (2) можно выделить три интересные соотношения, которые обладают определенным совершенством, выглядят вполне привлекательно и эстетично:

(6)

Величие и глубину природы можно ощущать не только, например, при созерцании
звезд или горных вершин, но и вглядываясь в некоторые удивительные формулы,
очень ценимые математиками за их красоту. К ним можно отнести изящные соотношения
золотой пропорции, фантастическую формулу Эйлера e^iπ = -1 (где i = √-1), формулу, определяющую
знаменитое число Непера (основание натуральных логарифмов): e = lim(1 + 1/n)ⁿ
= 2,718 при n → ∞, и многие другие.

После решения пропорции (1) ее идея кажется довольно простой, но, как это часто бывает со многими на первый взгляд простыми задачами, в ней скрыто немало тонкостей. Одной из таких замечательных тонкостей, мимо которой до сих пор проходили исследователи, является связь корней уравнений (3) и (4) с углами трех замечательных треугольников.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, каким образом одномерный отрезок, разделенный в пропорции золотого сечения, может быть легко преобразован в двумерный образ в виде треугольника. Для этого, используя вначале рис. 1, отложим на отрезке АВ длину отрезка a дважды — от точки А в сторону точки В и, наоборот, от точки В в сторону А. Получим две точки С₁ и С₂, делящие отрезок АВ с разных концов в пропорции золотого сечения (рис. 3). Считая равные отрезки АС₁ и ВС₂ радиусами, а точки А и В центрами окружностей, проведем две дуги до их пересечения в верхней точке С. Соединив точки А и С, а также В и С, получим равнобедренный треугольник АВС со сторонами АВ = a + b = 1, АС = = ВС = a = d ≈ 0,618. Величину углов при вершинах А и В обозначим α, при вершине С — β. Вычислим эти углы.

По теореме косинусов

(АВ)² = 2(АС)²(1 — cos β).

Подставив численные значения отрезков АВ и АС в эту формулу, получим

(7)

Аналогично получаем

(8)

Выход золотой пропорции на двумерный образ позволил связать корни уравнений (3) и (4) с углами треугольника АВС, который можно назвать первым треугольником золотой пропорции.

Выполним аналогичное построение, используя рис. 2. Если на продолжении отрезка АВ отложить от точки В вправо отрезок, равный по величине отрезку a, и повернуть вокруг центров А и В вверх оба отрезка как радиусы до их соприкосновения, то получим второй треугольник золотой пропорции (рис. 4). В этом равнобедренном треугольнике сторона АВ = a + b = 1, сторона АС = ВС = D ≈1,618, и поэтому по формуле теоремы косинусов получаем

(9)

Угол a при вершине С равен 36^о и связан с золотой пропорцией соотношением (8). Как и в предыдущем случае, углы этого треугольника связаны с корнями уравнений (3) и (4).

Второй треугольник золотой пропорции служит основным составляющим элементом правильного выпуклого пятиугольника и задает пропорции правильного звездчатого пятиугольника (пентаграммы), свойства которых подробно рассмотрены в книге [3].

Звездчатый пятиугольник — фигура симметричная, и в то же время в соотношениях ее отрезков проявляется асимметрическая золотая пропорция. Подобное сочетание противоположностей всегда притягивает глубоким единством, познание которого позволяет проникнуть в скрытые законы природы и понять их исключительную глубину и гармонию. Пифагорейцы, покоренные созвучием отрезков в звездчатом пятиугольнике, выбрали его символом своего научного сообщества.

Со времен астронома И. Кеплера (XVII век) иногда высказываются различные точки зрения относительно того, что обладает большей фундаментальностью — теорема Пифагора или золотая пропорция. Теорема Пифагора лежит в основании математики, это один из ее краеугольных камней. Золотое сечение лежит в основании гармонии и красоты мироздания. На первый взгляд оно несложно для понимания и не обладает значительной основательностью. Тем не менее некоторые его неожиданные и глубокие свойства постигаются только в последнее время [1], что говорит о необходимости с почтением относиться к его скрытой тонкости и возможной универсальности. Теорема Пифагора и золотая пропорция в своем развитии тесно переплетаются одна с другой и геометрическими и алгебраическими свойствами. Между ними нет ни пропасти, ни принципиальных различий. Они не конкурируют, у них разные предназначения.

Вполне возможно, что обе точки зрения равноправны, так как существует прямоугольный треугольник, содержащий в себе разнообразные особенности золотой пропорции. Другими словами, существует геометрическая фигура, достаточно полно объединяющая два математических восхитительных факта — теорему Пифагора и золотую пропорцию.

Чтобы построить такой треугольник, достаточно продолжить сторону ВС треугольника АВС (рис. 4) до пересечения в точке Е с перпендикуляром, восстановленным в точке А к стороне АВ (рис. 5).

Во внутреннем равнобедренном треугольнике АСЕ угол φ (угол АСЕ) равен 144^о, а угол ψ (углы ЕАС и АЕС) равен 18^о. Сторона АС = СЕ = СВ = D. Используя теорему Пифагора, легко получить, что длина катета

Используя этот результат, легко приходим к соотношению

(10)

Итак, найдена непосредственная связь корня y₂ уравнения (4) — последнего из корней уравнений (3) и (4) — с углом 144^о. В связи с этим треугольник АСЕ можно назвать третьим треугольником золотой пропорции.

Если в замечательном прямоугольном треугольнике АВЕ провести биссектрису угла САВ до пересечения со стороной ЕВ в точке F, то увидим, что вдоль стороны АВ располагаются четыре угла: 36^о, 72^о, 108^о и 144^о, с которыми корни уравнений золотой пропорции имеют непосредственную связь (соотношения (7) — (10)). Таким образом, в представленном прямоугольном треугольнике содержится вся плеяда равносторонних треугольников, обладающих особенностями золотого сечения. Кроме того, весьма примечательно то, что на гипотенузе любые два отрезка, ЕС = D и СF = 1,0 находятся в соотношении золотой пропорции с FВ = d. Угол ψ связан с корнями D и d уравнений (3) и (4) соотношениями

.

В основу представленных выше построений равнобедренных треугольников, углы которых связаны с корнями уравнений золотой пропорции, положены исходный отрезок АВ и его части a и b. Однако золотое сечение позволяет моделировать не только описанные выше треугольники, но и различные другие геометрические фигуры, несущие в себе элементы гармоничных отношений.

Приведем два примера подобных построений. В первом — рассмотрим отрезок АВ, представленный на рис. 1. Пусть точка С — центр окружности, отрезок b — радиус. Проведем радиусом b окружность и касательные к ней из точки А (рис. 6). Соединим точки касания E и F с точкой С. В результате получим асимметричный ромб АЕСF, в котором диагональ АС делит его на два равных прямоугольных треугольника АСЕ и АСF.

Обратим более пристальное внимание на один из них, например на треугольник АСЕ. В этом треугольнике угол АЕС — прямой, гипотенуза АС = a, катет СЕ = b и катет АЕ = √ab ≈ 0,486, что следует из соотношения (2). Следовательно, катет АЕ является средним геометрическим (пропорциональным) между отрезками a и b, то есть выражает геометрический центр симметрии между числами a ≈ 0,618 и b ≈ 0,382.

Найдем значения углов этого треугольника:

Как и в предыдущих случаях, углы δ и ε связаны через косинус с корнями уравнений (3) и (4).

Заметим, что асимметричный ромб, подобный ромбу AECF, получается при проведении касательных из точки В к окружности радиуса a и c центром в точке А.

Асимметричный ромб AECF получен иным путем в книге [1] при анализе формообразования и явлений роста в живой природе. Прямоугольный треугольник АЕС назван в этой работе «живым» треугольником, так как способен порождать наглядные образы, соответствующие различным структурным элементам природы, и служить ключом при построении геометрических схем начала развития некоторых живых организмов.

Второй пример связан с первым и третьим треугольниками золотого сечения. Образуем из двух равных первых треугольников золотой пропорции ромб с внутренними углами 72^о и 108^о. Аналогично объединим два равных третьих треугольника золотой пропорции в ромб с внутренними углами 36^о и 144^о. Если стороны этих ромбов равны между собой, то ими можно заполнить бесконечную плоскость без пустот и перекрытий. Соответствующий алгоритм заполнения плоскости разработал в конце 70-х годов ХХ века физик-теоретик из Оксфордского университета Р. Пенроуз. Причем выяснилось, что в получающейся мозаике невозможно выделить элементар ную ячейку с целым числом ромбов каждого вида, трансляция которой позволяла бы получить всю мозаику. Но самым замечательным оказалось то, что в бесконечной мозаике Пенроуза отношение числа «узких» ромбов к числу «широких» точно равно значению золотой пропорции d = 0,61803…!

В этом примере удивительным образом соединились все корни золотого сечения, выраженные через углы, с одним из случаев нетривиального заполнения бесконечной плоскости двумя элементарными фигурами — ромбами.

В заключение отметим, что приведенные выше разнообразные примеры связи корней уравнений золотой пропорции с углами треугольников иллюстрируют тот факт, что золотая пропорция более емкая задача, чем это представлялось ранее. Если прежде сферой приложения золотой пропорции считались в конечном итоге соотношения отрезков и различные последовательности, связанные с численными значениями ее корней (числа Фибоначчи), то теперь обнаруживается, что золотая пропорция может генерировать разнообразные геометрические объекты, а корни уравнений имеют явное тригонометрическое выражение.

Авторы отдают себе отчет, что высказанная выше точка зрения относительно изящества математических соотношений, связанных с золотой пропорцией, отражает личные эстетические переживания. В современной философской литературе понятия эстетики и красоты трактуются довольно широко и используются скорее на интуитивном уровне. Эти понятия отнесены главным образом к искусству. Содержание научного творчества в эстетическом плане в литературе практически не рассматривается. В первом приближении к эстетическим параметрам научных исследований можно отнести их сравнительную простоту, присущую им симметрию и способность порождать наглядные образы. Всем этим эстетическим параметрам отвечает задача, получившая название «золотая пропорция». В целом же проблемы эстетики в науке далеки от своего решения, хотя и представляют большой интерес.

Интуитивно чувствуется, что золотая пропорция все еще скрывает свои тайны.
Некоторые из них, вполне возможно, лежат на поверхности, ожидая необычного взгляда
своих новых исследователей. Знание свойств золотой пропорции может служить творческим
людям хорошим фундаментом, придавать им уверенность и в науке и в жизни.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шевелев И. Ш., Марутаев И. А., Шмелев И. П. Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии. — М.: Стройиздат, 1990. — 343 с.

2. Стахов А. П. Коды золотой пропорции. — М.: Радио и связь, 1984. — 152 с.

3. Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238 с.

4. Коробко В. И. Золотая пропорция: Некоторые философские аспекты гармонии. — М. — Орел: 2000. — 204 с.

5. Урманцев Ю. А. Золотое сечение // Природа, 1968, № 11.

6. Попков В. В., Шипицын Е. В. Золотое сечение в цикле Карно // УФН, 2000, т. 170, № 11.

7. Константинов И. Фантазии с додекаэдром // Наука и жизнь, 2001, № 2.

8. Шевелев И. Ш. Геометрическая гармония // Наука и жизнь, 1965, № 8.

9. Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. — М. : Мир, 1993.

Что такое золотое сечение?. Вы понимаете, что по-настоящему сходите с ума, когда… | Бретт Берри | Математические лайфхаки

Вы знаете, что вы действительно сходите с ума, когда восхищаетесь тем, насколько красиво число, но эй, это число довольно особенное 😉

Золотое сечение было объявлено самым красивым соотношением в искусстве и архитектуре на протяжении веков. От Парфенона до Таинства Тайной Вечери Сальвадора Дали золотое сечение было обнаружено в некоторых из самых знаменитых творений мира.

Верите ли вы, что эта божественная пропорция действительно является признаком красоты или просто предвзятостью выбора, зависит от вас, но, без сомнения, это одно из самых интригующих чисел в мире.

Представленное греческой буквой фи (φ), золотое сечение является иррациональной величиной:

Золотое сечение

В книге 6 книги Элементы Евклид дает нам определение золотого сечения.

Он говорит нам взять отрезок и разделить его на два меньших отрезка так, чтобы отношение весь отрезок ( a+b) к отрезку a равен отношению отрезка a к отрезку b , например:

Или эквивалентно как пропорция:

Также известная как Золотая пропорция или Золотое сечение

(Вы, любители геометрии, вероятно, знаете, что a есть геометрическое среднее a+b и b 🙌🏼 )

Золотое сечение чаще всего представляется как 907. Прямоугольник , прямоугольник с соотношением сторон 1,618:1.

Золотые прямоугольники также обладают тем свойством, что если вы отрежете квадрат, у вас останется другой золотой прямоугольник.

Золотые прямоугольники

Чтобы найти, откуда берется значение 1,618034…, мы должны решить пропорцию. Для простоты предположим, что b=1 и a=x , так что вы можете найти x .

a=x и b=1

Шаг 1

Возьмем перекрестные произведения.

Шаг 2

Вычтите x+1, чтобы установить уравнение равным нулю.

Теперь у нас есть стандартное квадратичное выражение с a=1, b=-1 и c=-1 .

Шаг 3

Подставьте эти значения в квадратную формулу и решите.

Поскольку мы работаем с длинами, нам нужно только положительное решение.

Вот оно! Золотое сечение, как и было обещано!

На всякий случай подставьте a=1,618 и b=1 , чтобы убедиться, что пропорция верна.

Заметили что-нибудь интересное о (1,618 + 1)/1,618 = 1,618?

Мы можем записать золотое сечение в терминах самого себя! Что совершенно потрясающе.

Переписано с φ вместо 1,618.

Или, что то же самое,

Теперь давайте сойдем с ума. Подставьте φ=1 + 1/φ вместо φ в знаменателе.

Ого, круто! Давай сделаем это снова!

Мы могли бы продолжать это вечно. Что довольно зрелищно. Оказывается, золотое сечение можно записать в виде бесконечной цепной дроби .

Мы можем использовать непрерывную дробь для аппроксимации золотого сечения и обнаружить интересную связь с последовательностью Фибоначчи.

Шаг 1

Для начала немного изменим нашу непрерывную дробь.

Вместо написания формулы, вложенной в себя, мы добавим нижние индексы, чтобы указать, что следующее значение (φ_n+1) может быть сгенерировано из предыдущего значения (φ_n).

Поскольку это бесконечная цепная дробь, по мере увеличения n аппроксимация становится ближе к истинному значению φ.

Шаг 2

Определение φ_0 = 1 . Найти φ_1 вставить n=0.

Шаг 3

Повторите процесс, чтобы найти φ_2 с n=1, поскольку φ_2 = φ_1+1. Используйте результат шага 2 для φ_1.

Шаг 4

Продолжайте повторять этот процесс.

Шаг 5

Проверьте. Вот Последовательность Фибоначчи ! Каждое приближение представляет собой отношение двух соседних чисел Фибоначчи. Нам больше не нужно мучиться с подстановкой значений в непрерывную дробь, мы можем просто разделить последовательные члены последовательности Фибоначчи.

По мере того, как мы продвигаемся вперед с каждым расчетом, мы обнаруживаем, что наша аппроксимация золотого сечения становится все ближе и ближе к ее истинному значению.

Фактически, предел F(n+1)/F(n) при n → ∞ (где F(n) и F(n+1) представляют n-й и n-й плюс 1 член в последовательности Фибоначчи) сходится к ф.

Визуально мы можем видеть, как Последовательность Фибоначчи генерирует прямоугольники все ближе и ближе к заветному Золотому Прямоугольнику.

Квадраты Фибоначчи

В то время как мир дизайна может спорить о том, является ли золотое сечение фольклором или нет, я думаю, можно с уверенностью сказать, что золотое сечение тем не менее математически интригует.

Спасибо за внимание!

❤ ОСТАВАЙТЕСЬ НА СВЯЗИ ❤

Будьте в курсе всех новостей Math Hacks!

Инстаграм | Фейсбук | Twitter

Еще из Math Hacks →

Почему a² + b² = c²?

Наглядное доказательство теоремы Пифагора

medium.com

10 главных секретов треугольника Паскаля

Биномиальная теорема, последовательность Фибоначчи, треугольник Серпинского и многое другое

medium.com

Проблема дня рождения🎈

Сегодняшняя проблема касается особенного нового члена семьи. Добро пожаловать в мир, моя племянница Эдисон Грейс Берри! Мой…

medium.com

Математические мифы: золотое сечение

Эта статья основана на разговоре в продолжающемся Gresham
Цикл лекций колледжа. Видео разговора вы можете посмотреть ниже.

Большинство из вас слышали о числе, называемом золотым сечением 9.0004 .
Например, она появляется в книге/фильме «Код да Винчи » и во многих статьях, книгах и школьных проектах, цель которых — показать, насколько важна математика в реальном мире. Многие авторы (в том числе автор «Кода да Винчи») описывали ее как основу всех красивых узоров в природе, и иногда ее называют божественной пропорцией . Утверждается, что большая часть искусства и архитектуры содержит элементы в пропорциях, заданных золотым сечением. Например, утверждается, что и Парфенон, и пирамиды находятся в этой пропорции. Также утверждалось, что золотое сечение проявляется в человеческом теле, например, как отношение роста взрослого человека к высоте его пупка или длины предплечья к длине кисти.

Тем не менее, за всю мою карьеру в области применения математики в реальном мире я ровно дважды сталкивался с золотым сечением. Да, дважды! Так верны ли какие-либо из этих великих утверждений о золотом сечении?

Что еще за золотое сечение?

Давайте начнем с того, что быстро вспомним, что такое золотое сечение. Древнегреческий математик Евклид определил его следующим образом. Представьте, что у вас есть отрезок, который вы хотите разделить на две части. Вы хотите разделить его таким образом, чтобы отношение между целым отрезком и более длинной из двух частей было таким же, как соотношение между более длинной из двух частей и более короткой. Каким должно быть это соотношение?

Мы хотели бы выбрать A и B так, чтобы ( A + B )/ A = A / B .

Немного математики (см. здесь) покажет, что отношение должно быть

Тот факт, что он определяется как отношение двух длин, означает, что вы можете искать его всякий раз, когда смотрите на что-то, в чем есть сегменты линий, будь то лицо или здание.

Золотое сечение человеческого тела

Предполагается, что золотое сечение лежит в основе многих пропорций человеческого тела. К ним относятся форма идеального лица, а также соотношение высоты пупка к высоте тела. Действительно, утверждается, что почти каждая пропорция идеального человеческого лица связана с золотым сечением (см. эту статью, чтобы узнать больше о таких утверждениях).

Вы можете наложить всевозможные прямоугольники на красивое лицо, а затем заявить, что красота проистекает из пропорций прямоугольника.

Однако все это неправда, даже отдаленно. У тела есть много возможных соотношений, многие из которых находятся где-то между 1 и 2. Если вы учтете достаточное количество из них, вы обязательно получите числа, близкие к значению золотого сечения (около 1,618). Это особенно верно, если измеряемые вами вещи не очень четко определены (как на картинке слева) и можно варьировать определение таким образом, чтобы получить пропорции, которые вы хотите найти.

Если вы посмотрите достаточно внимательно, вы также найдете пропорции в человеческом теле, близкие к 1,6, 5/3, 3/2, квадратному корню из 2, 42/26 и т. д. и т. д. Действительно, большинство чисел между 1 и 2 будут иметь две части тела, приближающиеся к ним в соотношении. Подобные ложные паттерны также наблюдаются в Солнечной системе (которая также имеет множество различных соотношений, из которых вы можете выбирать). Также помните, что, поскольку золотое сечение является иррациональным числом (см. ниже), вы никогда не увидите его точно ни в каком измерении.

Все это пример того, как человеческий мозг находит ложные корреляции. Действительно, при наличии достаточного количества данных можно найти закономерности, которые согласуются практически с любой гипотезой. Хороший способ убедиться в этом — выйти на улицу в хороший солнечный день и посмотреть на облака. Рано или поздно вы найдете облако, которое соответствует какому-то новому образцу. В качестве примера посмотрите на эту статью BBC News, в которой сообщается о «королеве воинов», наблюдаемой в облачном узоре.

Это явление на самом деле может быть довольно опасным, когда в данных обнаруживаются ложные корреляции, подтверждающие точку зрения. Например, они могут привести к ложным обвинениям и даже к ложным убеждениям. Множество примеров ложных корреляций см. на этом веб-сайте.

Спирали, золотые и прочие

Если взять линию, разделенную на два сегмента, то есть золотое сечение, а затем сформировать прямоугольник со сторонами и , то этот прямоугольник называется золотым прямоугольником .

Золотой прямоугольник состоит из квадрата (белого) и меньшего прямоугольника (серого). Меньший прямоугольник также является золотым прямоугольником.

Золотой прямоугольник, который мы только что сформировали, состоит из квадрата и меньшего прямоугольника, который сам является золотым прямоугольником (см. здесь, чтобы узнать больше). Этот золотой прямоугольник снова состоит из квадрата и меньшего прямоугольника, который сам является золотым прямоугольником. И так далее.

Используя последовательность все меньших и меньших золотых прямоугольников, мы можем сформировать что-то вроде спирали. Просто нарисуйте четверть круга в каждом из квадратов, которые появляются в золотых прямоугольниках.

Спиральная форма, состоящая из золотого прямоугольника.

Часто утверждают, что эту спиралевидную форму можно найти во многих местах в природе и искусстве. Например, как форма раковины наутилуса, форма галактики, форма урагана или даже волны.

Здесь есть две проблемы. Во-первых, форма не спираль. Это последовательность дуг окружности. При переходе от одной дуги к другой кривизна спирали прыгает. Вряд ли в каком-либо природном явлении мы увидим такие скачки. Фактически, форма является лишь приближением к настоящей спирали. Форма спирали, к которой он приближается, является примером логарифмической спирали . Такие спирали очень распространены в природе. У них есть полярное уравнение

где основание натурального логарифма. В природе мы видим такие спирали повсюду, с разными значениями и в зависимости от контекста. Причина, по которой эти спирали так распространены, заключается в том, что они обладают свойством самоподобия . Это означает, что если вы повернете спираль на любой фиксированный угол, вы получите спираль, которая является масштабированием оригинала.

Так называемая золотая спираль имеет конкретное значение ,

где золотое сечение (а углы измеряются в радианах).

Нет никакой причины, по которой этот номер был бы чем-то особенным. Раковина наутилуса представляет собой логарифмическую спираль, потому что свойство самоподобия позволяет раковине расти без изменения формы. Значения, наблюдаемые для раковины наутилуса, не имеют никакого отношения к приведенному выше значению, при этом значение, наблюдаемое чаще всего в реальных раковинах.

Искусство и архитектура

Здесь нужно быть осторожным. Безусловно, некоторые художники, такие как Ле Корбюзье (в его системе Modulor), намеренно использовали золотое сечение в своих произведениях искусства. Это потому, что было заявлено, что пропорции золотого прямоугольника особенно приятны для человеческого глаза, и что с эстетической точки зрения мы предпочитаем золотой прямоугольник всем другим прямоугольникам. Поэтому имеет смысл использовать их в художественных произведениях. Затем утверждается, что золотое сечение можно увидеть практически в любом другом произведении искусства и архитектуры.

Доказательств того, что золотой прямоугольник особенно приятен, довольно мало. Психологические исследования, демонстрирующие различные прямоугольники для групп людей, по-видимому, указывают на то, что существовал широкий диапазон предпочтений, при этом отношение квадратного корня из двух к одному часто предпочтительнее, чем другие. Проверьте себя на прямоугольниках ниже, чтобы увидеть, что вы предпочитаете.

Согласно книге Кита Девлина Угол Девлина: миф, который не исчезнет , идея о том, что золотое сечение вообще имеет какое-либо отношение к эстетике, исходит в основном от двух человек, один из которых был неверно процитирован, а другой прибегал к к изобретению. Неверно процитированным автором был Лука Пачоли, написавший книгу под названием «9».0003 De Divina Proportione еще в 1509 году. Книга была названа в честь золотого сечения, но не приводила доводов в пользу теории эстетики, основанной на золотом сечении, или того, что ее следует применять к искусству и архитектуре. Такой взгляд был ошибочно приписан Пачоли в 1799 году.

Пачоли был близким другом Леонардо да Винчи, и часто утверждают, что сам Леонардо использовал золотое сечение в своих картинах. Прямых доказательств этому нет. Возможно, самым известным из этих примеров является число 9.0003 Витрувианский человек . Однако пропорции на этой картине не соответствуют золотому сечению. Действительно, Леонардо упоминал в своих работах только отношения целых чисел. Предполагаемые примеры золотого сечения, появляющиеся на его картинах, относятся к тому же классу, что и те, которые находят соотношение в природе.

Девлин приписывает «популяризацию» золотого сечения Адольфу Цейзингу, немецкому психологу 19-го века, который утверждал, что золотое сечение было универсальным законом, описывающим «красоту и полноту в царствах как природы, так и искусства [. ..] который пронизывает, как высший духовный идеал, все структуры, формы и пропорции, будь то космические или индивидуальные, органические или неорганические, акустические или оптические». Это был просто пример (как указано выше) наблюдения ложных паттернов. Однако работа Цейзинга повлияла на многих других и заложила основы большей части современного мифа.

Так называемая золотая спираль, наложенная на Парфенон. Нет никаких доказательств того, что золотое сечение сыграло роль в дизайне этого здания. Базовое изображение Парфенона: Ойвинд Солстад, CC BY 2.0.

Другим примером этого мифа является утверждение, что золотое сечение проявляется в пропорциях Парфенона, части Акрополя в Афинах.

В греческих исследованиях нет никаких подтверждений этому, а представление о пропорциях Парфенона, заданных золотым сечением, восходит только к 1850-м годам. Кроме того, фактические размеры Парфенона не дают пропорций, особенно близких к золотому сечению, если только вы не будете осторожны с выбором прямоугольников. На самом деле, Парфенон получил свой гармоничный вид благодаря умелому расположению линий, которые кажутся параллельными, но на самом деле сходятся или изгибаются, поэтому практически невозможно провести достаточно точные измерения, чтобы получить точное соотношение. Поскольку пропорции Парфенона меняются в зависимости от его высоты, просто невозможно найти общую пропорцию, которая согласуется с золотым сечением.

То же самое относится и к остальной греческой архитектуре: нет никаких доказательств того, что греки считали золотое сечение эстетически привлекательным или вообще использовали его в своем искусстве и архитектуре.

Это относится и к музыке. Утверждается, что золотое сечение важно в музыкальной композиции. Доказательств этому мало. Однако в композиции важна гамма, а шкала очень тесно связана с корнем двенадцатой степени из 2. Именно это последнее число лежит в основе музыки, а не золотое сечение [ссылка].

В этих стойких мифах о золотом сечении таится вполне реальная опасность. Школьников и многих других вводят в ложную реальность о том, как работает математика. Рано или поздно они обнаружат, что эта реальность не соответствует действительности, и потеряют веру в вполне реальную способность математики объяснять мир.

Великая реальность

Относясь к золотому сечению довольно пренебрежительно, я хотел бы завершить этот раздел, подчеркнув, насколько удивительным числом на самом деле является золотое сечение — ему действительно не нужны все эти ложные заявления, чтобы сделать его особенным.

Сначала обратимся к явлениям природы, которые действительно связаны с золотым сечением. Золотое сечение тесно связано со знаменитой последовательностью Фибоначчи

.

Вы можете узнать больше об этой ссылке здесь. Последовательность Фибоначчи, безусловно, существует в природе, поскольку она связана как с тем, как растет население, так и с тем, как формы могут соединяться друг с другом. Например, последовательность можно увидеть в спиралях подсолнухов, которые должны располагаться вместе упорядоченным образом, и в листьях некоторых растений, которые нужно расположить так, чтобы они захватили как можно больше солнечного света. В результате можно наблюдать соотношения, близкие к золотому сечению, возникающие в некоторых природных явлениях (подробнее здесь).

Эти явления включают передачу трутней пчелам-самкам в улье, что связано с тем, как пчелы размножаются в течение многих поколений (узнайте больше здесь). Так что действительно можно увидеть золотое сечение в саду, и для этого есть очень веские математические причины.

Фибоначчи придумал свою последовательность, рассматривая рост популяции идеализированных кроликов. См. эту статью, чтобы узнать больше.

Но, возможно, еще более интересны многие увлекательные математические свойства золотого сечения. Они исследуются в различных Плюс статьи, но я хотел бы отметить одну, которая особенно увлекательна и которая действительно отличает золотое сечение от других чисел: его крайняя иррациональность.

Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть представлены дробями и имеют бесконечное десятичное представление, которое не заканчивается повторяющимся блоком. Именно этот факт означает, что в природе трудно наблюдать иррациональные числа. Золотое сечение обладает удивительным свойством быть самым иррациональным числом из всех. Это означает, что его не только невозможно точно представить в виде дроби, но даже невозможно легко аппроксимировать дробью. Смотрите эту статью для математических деталей.

Сложность аппроксимации золотого сечения дробью делает его очень полезным числом для математиков и ученых, изучающих процесс синхронизации . Это происходит, когда система с собственной частотой воздействует на систему с другой частотой и принимает частоту воздействия. Одним из примеров является синхронизация человеческого тела с ежедневной частотой солнечного света. Вторым примером является климат Земли, который синхронизируется с естественными циклами обращения вокруг Солнца.

Однако синхронизация сама по себе может быть проблемой, приводящей к нежелательным резонансам в системе (например, подвесной мост сильно вибрирует, если по нему проходит марширующий оркестр). Выбрав две частоты в соотношении, мы можем избежать синхронизации из-за крайней иррациональности золотого сечения. Это очень полезное свойство, по-видимому, используется мозгом и насекомыми, а также учеными-климатологами и даже людьми, которые производят самолеты.

Таким образом, у золотого сечения действительно есть главная роль, но не та, о которой вы часто читаете в связанной с ним мифологии. Это очень жаль! Это прекрасный парадокс, но самое интересное в золотом сечении то, что
это не соотношение.

Об авторе

Крис Бадд.

Эта статья основана на разговоре Бадда в продолжающемся Gresham
Серия лекций колледжа (см.