Презентация и работа "Математика и футбол". Математика футбол

Математика и футбол - Footballworld

Математика и спорт, казалось бы, далеки друг от друга. Но это только на первый взгляд. Занятия спортом способствуют гармоничному развитию личности, спорт закаляет человека физически и духовно - общеизвестный факт. Но поклонникам интеллектуальных игр полезно знать, что в спорте и спортивных играх ум, образование, развитое мышление и воображение, расчет — вещи далеко не лишние.

Подготовка футболистов высокого класса достаточно длительна и необычайно сложна, а поиск путей оптимизации учебно - тренировочного процесса является самой актуальной задачей современной теории и методики тренировки. Немаловажную роль при подготовке мастеров футбола играют научно - обоснованные критерии оценки их соревновательной деятельности, моделирование которых во многих случаях связано с цифровыми характеристиками, составленными на основе математических эталонов. Количественный анализ игры позволяет объективно оценить ее качество, которое может быть высоким, даже если игра проиграна.

В футболе математика встречается в виде различных статистических данных, замеров и выкладок. Они используются как в отдельном матче, так и на протяжении более длительных периодов. Практически все действия на поле уже давно подвергаются статистическому учету и контролю, в виде итоговых таблиц с подсчетом голевых пасов, времени владения мячом, числа ударов в створ ворот и мимо, совокупного расстояния, которое пробежал игрок, и т. д. После каждой игры футболисту выставляется оценка, в виде баллов по десятибальной системе. По итогам этих оценок тренер определяет коэффициент полезности игрока в той или иной игре и, как следствие основной состав команды на сезон.

Рассмотрим в качестве примера организацию соревнований. Все шесть матчей группового турнира EURO 2012 в каждой подгруппе игрались в двух городах. Следовательно, команды между матчами перемещались из одного города в другой. Очевидно, что команда с меньшим числом таких перемещений имеет некоторое преимущество (может отдыхать сразу после матча, а не ехать сломя голову куда-то еще). Как спланировать игры в подгруппе так, чтобы не сделать это преимущество для какой-то из команд существенным (влияющим на исход игр)? Мы рассмотрели задачу-головоломку, относящуюся к самому примитивному применению математики в игровых видах спорта — анализу неполных результатов спортивного турнира. На ту же тему существуют значительно более трудные задачи. Например, вот одна из наиболее красивых и известных турнирных задач: «После кругового теннисного турнира на 16 человек в редакции оказалась полная таблица турнира, но без имён игроков, и отдельно — полный список игроков. Журналист хочет передать в редакцию результаты нескольких игр так, чтобы по ним было возможно восстановить, кто выиграл в каждой паре. Докажите, что ему для этого хватит 45 результатов.»

Хорошо известно, что спорт является неисчерпаемым источником весьма интересных и трудных проблем, к которым имеют прямое отношение многие науки: медицина, биомеханика, гидродинамика и аэродинамика, социология, статистика и другие. Эти проблемы изучают, решают, о них рассказывают специалисты из соответствующих областей знаний. В последние годы мы стали свидетелями научно-технической революции в мире футбола и шире — профессионального спорта. Достижения науки видны уже в проектировании мячей (они стали более округлыми и защищенными от деформации, перестали впитывать воду, а в связи с этим увеличиваться в весе), маек (они «дышат», лучше выдерживают свойственное этому виду спорта натяжение, иногда фактура ткани призвана ослабить хватку соперника) и обуви. Появляется форма, снабженная датчиками, которые измеряют пульс футболиста. В ходе встречи каждое движение спортсмена анализируют камеры и GPS-датчики, чтобы зафиксировать, сколько он пробежал километров, сделал передач, нанес ударов и т.д. Некоторые клубы используют программы, которые позволяют анализировать события на поле уже в ходе матча. Математическое и компьютерное моделирование, логика, теория вероятности, математическая статистика, исследование операций и теория игр - неполный перечень математических дисциплин неизбежно проникающих в профессиональный спорт. Математика оказала и оказывает серьезное влияние практически на все области знания. Теперь давайте фантазировать, давайте представим, что футбол – это тоже наука. Не игра, не бизнес, не «больше, чем жизнь», а наука. Когда математика вмешивается в другие науки, то они развиваются. Речь идет не о роботах-футболистах и искусственном интеллекте на тренерском мостике, речь о методиках, которые делают работу тренеров эффективнее и проще, а игру команды - результативнее. Пускай математика вмешается в футбол!

Так что же такое футбол? Во первых – это искусство владения мячом, передачи его партнёру, взаимопонимания и взаимодействия футболистов, это искусство великолепного исполнения комбинаций, ну и конечно же искусство поражения ворот соперника. Во вторых – эту игру можно отнести и к науке. Как и в математике, футбол требует самого точного расчёта действий. Именно поэтому меня заинтересовала тема «Математика в футболе».

Гипотеза: знание математики, методов математической статистики и анализа способствует улучшению спортивных достижений.

Актуальность: необходимость принимать решение возникает во многих спортивных ситуациях: в организации тренировок и соревнований, в комплектовании спортивных команд, в распределении обязанностей игроков команды, в выборе тактики игры и т. п. Применение математических методов и математического моделирования способствует организации более эффективной работы тренерского состава и команды.

Научная новизна: ситуации, возникающие в спорте, в частности, в футболе, столь сложны, а последствия принятых решений могут оказаться столь значительными, что предварительный количественный и качественный анализ становится обязательным. В этих случаях не обойтись без применения научных, в первую очередь математических, методов. Исследование операций как раз и есть своеобразная математическая «примерка» будущих решений, позволяющих экономить время, силы и материальные средства, избегать серьезных ошибок, на которых уже нельзя учиться. Чем сложнее, дороже, масштабнее планируемое мероприятие, тем менее допустимы в нем «волевые» решения и тем важнее становятся научные методы, позволяющие заранее оценить последствия каждого решения, заранее отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные.

Практическая значимость: ресурс можно использовать в учебно-познавательных целях.

Цель: проследить и оценить практическую значимость математического аппарата в описании спортивных операций.

Задачи:

- изучить соответствующую литературу;

- собрать материал из истории развития футбола в Республике Татарстан;

- определить точки соприкосновения математики и футбола;

- осветить основные аспекты математической составляющей футбола;

- обосновать целесообразность и эффективность применения математического аппарата в спорте с целью принятия более обоснованных количественных и качественных управленческих решений и оценок;

- привести примеры и разобрать задачи на применение математической статистики в футболе;

- провести опрос об отношении к спорту обучающихся нашей гимназии;

- подобрать «футбольные задачи» для подготовки к олимпиаде по математике.

Объект исследования - спортивная игра футбол.

Предмет исследования - математические дисциплины и методы, применяемые при анализе и прогнозировании в футболе.

Методы исследования: изучение литературы и Интернет-источников, наблюдение, опрос и анкетирование, сравнение и обобщение, анализ и синтез, классификация и систематизация.

Математический материал зачастую принимает чрезвычайно абстрактную форму, в то же время абстрактность математики, однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи со спортом, музыкой, литературой и многими науками запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, и наполняется всё более богатым содержанием. Существует две математики.

Первая – математика, предметом изучения которой является искусственные конструкции, созданные математиками в процессе их свободного творчества.

Вторая – изучает «реальные» математические структуры, существующие независимо от открывших их математиков. Это, так называемая, прикладная математика. Например: математика в технике, математика в экологии, математика в архитектуре и в их числе - математика в спорте. Результаты прикладных исследований дают иногда неожиданные и практически значимые результаты. Известно, что методами математической статистики устанавливают перспективность спортсменов, условия, наиболее благоприятные для тренировок, их эффективность, обрабатывают показания датчиков, контролирующих нагрузки спортсменов. Теория информации позволяет оценить степень загруженности зрительного аппарата при занятиях различными видами спорта. Математика и физика помогают изыскивать наиболее удачные формы гребных судов и весел.

Прикладная математика призвана создавать, изучать, развивать и совершенствовать методы применения математики к задачам, возникающим за ее пределами. Специалист по прикладной математике имеет дело с математическими моделями. Математическими моделями, цель которых обосновать принятие в данной ситуации того или иного из возможных решений, занимается важнейший раздел прикладной математики — исследование операций. Не так уж часто в результате изучения математической модели удается прийти к однозначному решению — найти единственное оптимальное решение. В подавляющем большинстве случаев удается лишь сузить область поиска оптимальных решений (которых может быть несколько), выделить решения, близкие к оптимальным, практически равноценные. Однако и это оказывается успехом, ибо существенно облегчает задачу лица, ответственного за принятие решений, выбрать какое-либо из них. Рассмотрим несколько практических задач и перечислим типичные задачи, которые могут быть рассмотрены методами теории исследования операций.

Распределение игровых амплуа в спортивной команде (футбольной, хоккейной и др.), обеспечивающее наибольший эффект в игре.

Система организации чемпионатов, турниров и кубковых встреч, обеспечивающая достижение определенных целей. Например, для: выявления первого и второго призеров кубковой встречи (с соблюдением определенных условий).
Составление для спортсменов диеты, удовлетворяющей требованиям медиков и, в то же время, наиболее экономной и сохраняющей вес спортсмена в определенных рамках, разработка индивидуального режима тренировок.

Таким образом, математика, а в особенности прикладная математика, объясняет многие последовательности и закономерности в спорте. С помощью математических моделей могут быть решены практические задачи в спорте, помогая спортсменам и тренерам достичь наивысших результатов.

В беседе с тренерами я выяснил, как, на их взгляд, математика проявляется в в футболе. Во время интервью они отвечали на вопрос «Как применяются знания по математике в футболе?»

- Тренер-преподаватель Чебуков Игорь Алексеевич в своем интервью отметил: «Футбол - это игровой вид спорта, и прежде всего он построен на точности принятия решения, точности передач, точности оценки ситуации на поле. Игра обязательна связана с психологией, то есть должны быть крепкие нервы и холодный расчет, взаимопонимание и взаимодействие игроков, что куется на протяжении всех лет обучения игре в футбол и приходит с опытом.

Но мы остановимся на точности: игра очень динамичная, сложность состоит в том, что у игрока нет возможности долго размышлять, поэтому на протяжении многих лет мы отрабатываем именно точность, технику.» Из интервью с Игорем Алексеевичем можно сделать вывод, что математика – это точная наука, а футбол – это точность.

- Тренер-преподаватель Виктор Владимирович Ворожейкин: «Знания математики применяются в футболе при изучении различных видов ударов по мячу: средних, дальних, штрафных. Ребята учатся быстро считать очки, складывать, запоминать. Также математика помогает нам в тактических действиях: например за некоторые доли секунды спортсмен должен сориентироваться, принять решение, правильно сделать передачу или совершить удар по мячу.»

После встречи с тренером мы пришли к выводу: математика - это логическое мышление, футбол – знание тактических схем, в которых несомненно нужна логика мышления.

Также мы встретились с кандидатом в мастера спорта Толометовой Эльвирой Флитовной, которая рассказала, как она в своей спортивной жизни использует знание математики: «Знания математики в спорте и в футболе, в частности, нужны для того чтобы, мы правильно могли рассчитать время, силовую нагрузку во время тренировок, точно оценить расстояние, силу, скорость".

Беседа с Эльвирой Флитовной нам помогла прийти к выводу, что математика - это прежде всего различные виды мыслительной деятельности, и в свою очередь, футбол - это различные виды физической деятельности.

Мы побеседовали с любителями футбола в гимназии и поинтересовались, видят ли они взаимосвязь между математикой и спортом. «Занятия спортом и математика - между ними огромная и непосредственная связь, потому что когда человек занимается каким-либо спортом, у него мобилизуются все системы органов, у него хорошо работает дыхательная система, сердечная система, мышечная система, в результате чего у него лучше начинают работать мозги. Улучшаются и ускоряются все нервные процессы, поэтому чем чаще человек занимается физическими упражнениями и спортом, тем активнее и продуктивнее работает его мозг, повышается его интеллект, который необходим на занятиях математики.» - говорит Андреев Ю.К., преподаватель ОБЖ.

Для того чтобы ответить на вопрос «Точки соприкосновения математики и футбола?» мы провели анкетирование среди учащихся 8-11 классов, любителями футбола и спорта, тренерами-преподавателями. Мнения у всех были различными, некоторые респонденты к нашему сожалению затруднились ответить на наш вопрос, так как не видели взаимосвязи между математикой и спортом. Результаты мониторинга

В результате нашего исследования мы пришли к выводу, что точки соприкосновения: скорость, время, расстояние, логика, расчет. По каждому из направлений мы попытались указать эти точки.

Точки соприкосновения	Спорт	Математика
Скорость	Скорость бегаСкорость принятия решения	Скорость выполнения действий Скорость в устных вычислениях
Время	Время выполнения разминки Продолжительность тайма Отметка секундомера	Время решения тактической/стратегической задачи
Расстояние	Длина броска Дальность полета мяча Длина прыжка Игровая площадка	Перенос имеющихся знаний на новые ситуации Оценка геометрических параметров поля Пространственное воображение
Логика	Скорость мышления, пространственное воображение, умение анализировать ситуацию, принимать решение	Умение абстрагироваться, выполнять логические операции, строить умозаключения

Математика присутствует в самых различных компонентах этой интереснейшей игры – начиная от конструкции футбольного мяча, и заканчивая спортивными рейтингами.

Футбольный мяч

Всем нам знакомый черно-белый футбольный мяч представляет собой геометрическую фигуру – икосаэдр. Икосаэдр – это правильный выпуклый многогранник. В данном случае икосаэдр состоит из 20 шестиугольных и 12 пятиугольных граней. На рисунке 1 изображен усеченный икосаэдр и обычный круглый мяч. Круглым он становится, когда его наполняют воздухом. На рисунке 2 изображен опыт математиков. Двенадцать черных пятиугольных и 20 белых шестиугольных граней поэтапно превращаются в 24 и 40 соответственно. Для этого нужно всего лишь разрезать мяч пополам и сшить в другом месте. На рисунке 3 изображен официальный мяч Чемпионата Мира-2006. Он состоит всего из 14 “пропеллеров” и “турбин”.


Рисунок 1	Рисунок 2	Рисунок 3

Математический анализ тактики

Тактическое построение в футболе — определённая расстановка футболистов и их поведение во время игры с целью выполнения задач, установленных тренером. Однако немаловажную роль в тактике играет математика. Выражается она в малоизвестном европейском нововведении, таком как МАТ.

МАТ (Математический Анализ Тактики) досконально разбирает любой из сыгранных командой поединков и выдает всю информацию, от личных тактико-технических данных любого участника до общекомандных показателей. Кто, сколько и с какой скоростью в среднем пробежал, в каком направлении чаще двигался с мячом и без мяча, какому партнеру отдавал точные и неточные передачи, число ударов по цели и подкатов. Участки поля, где больше оборонялись, через какой фланг чаще атаковали.

Таблица коэффициентов УЕФА

sites.google.com

Презентация и работа "Математика и футбол"

Хочется поделиться с коллегами тем материалом, который, на мой взгляд, будет интересен и учителям и учащимся. Эту работу сделали под моим руководством мои ученики.

Учащиеся нашей школы, авторы данной работы несколько лет с увлечением занимаются в футбольной секции и любят уроки математики. Некоторые из ребят этой группы были участниками районных и республиканских математических олимпиад. Поэтому их заинтересовала идея работы над темой «Математика и футбол». Тему они окончательно сформулировали в процессе работы над ней. Систематизировал собранный материал и выступил с ним на районной конференции Воронов А.

Сначала им казалось, что информации очень мало. Однако, из книг, из общения друг с другом, из бесед с футбольным тренером, из Интернета они собрали большой материал.

Собранные сведения они стали систематизировать, искать закономерности, взаимосвязи. Они разделились на группы, спланировали, кто над каким направлением будет работать, обсуждали, как оформлять результаты работы. Отдельные проблемы, возникающие в процессе работы, решали в группах, некоторые - собираясь все вместе.

Некоторые вопросы, которые ставили ребята, просто не имеют ответов, а для решения некоторых задач им недоставало знаний. И от решения их они пока должны были отказаться, а некоторые задачи мы все-таки смогли решить.

Будет приятно, если кто-то сочтет интересным наш материал. И сочтет возможным им воспользоваться. Если нетрудно, поделитесь, пожалуйста, вашим мнением.

Котова В.Б.

Конференция «Шаг в будущее»

Математика и футбол

Автор проекта: Воронов Алексей - ученик 9-а класса МОУ Чалнинская средняяобщеобразовательная школа

Руководитель проекта: Котова Васса Борисовна – учитель

математики МОУ Чалнинская СОШ,

заслуженный учитель РК

Республика Карелия

п. Чална Пряжинского муниципального национального района

2011г

Оглавление

Введение. Цели проекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Различные виды расстановки футболистов на поле . . . . . . . . . . . . . . . 6
Как зарабатывает деньги букмекер на футболе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Определение суммарного рейтинга стран. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Расчет оптимального угла удара по мячу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
О футбольном мяче… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Немного истории. О Маркове А.А. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Введение

Я вместе со своими друзьями учусь в Чалнинской средней общеобразовательной школе, мы увлекаемся футболом. Нам нравится спорт. Вот уже несколько лет мы занимаемся в футбольной секции, участвуем в различных спортивных соревнованиях и турнирах. Но кроме футбола мы любим математику, любим, решать математические задачи. Мы давно участвуем в математической игре «Кенгуру», школьных турах олимпиады по математике, «Интеллектуальной игре», были участниками районных и республиканских математических олимпиад. Поэтому нас заинтересовала идея работы «Математика и футбол». Тему мы окончательно сформулировали в процессе работы.

Задачи работы:

Собрать численные характеристики, связанные с футболом, которые позволят заметить интересные математические закономерности, получить новые знания о футболе и математике;

В самом начале работы нам трудно было представить взаимосвязь футбола и математики. Некоторые ребята, узнавая о нашей работе, даже удивлялись: «А разве такая связь вообще существует?»

Мы испытали трудности в подборе литературы, в которой говорилось бы о связи математики и футбола, поэтому мы обращались за информацией в Интернет, к своему футбольному тренеру.

Сначала нам казалось, что информации очень мало. Мы собирали и записывали всевозможные численные характеристики, которые могли усмотреть в футболе. Составили своеобразную математическую копилку футбола (размеры ворот, поля, число игроков, средняя и максимальная скорости футболистов, геометрия поля, возраст игроков, режим тренировок, питания, сведения из истории футбола и другие). Обсуждали «возраст травмоопасности» (он наступает после 3 лет игры в футбол). Пытались строить график зависимости коэффициента полезного действия игрока от стажа игры. Многие из найденных данных мы не использовали в своей работе.

Из книг, из общения друг с другом, с руководителем, из бесед с нашим футбольным тренером, из Интернета мы собрали большой материал. На одном из форумов Интернета, мы нашли обсуждение формулы успешности выступления футбольных команд. Нам это показалось интересным, мы рассмотрели переменные входящие в эту формулу, пытались проследить характер зависимость между ними. Познакомились с разными точками зрения на то, как добиться хороших результатов в игре. Очень много существует факторов влияющих на успешность выступления команды. У нас получилась своя дискуссия. Свою формулу мы вывести пока не смогли, а с формулой помещенной на одном из сайтов Интернет, мы не согласились.

Собранный материал мы стали систематизировать, искать закономерности, взаимосвязи, обсуждали, как оформлять результаты работы. Отдельные проблемы, возникающие в процессе работы, решали, собираясь все вместе. Помогала в выборе темы для работы, в планировании наших действий, в систематизации материала наш руководитель, учитель математики Котова В.Б.

Расстановка игроков на поле

Игроки делятся на 4 амплуа:

Амплуа делятся на разновидности.

Например:

Виды расстановок

Существуют и другие расстановки

Количество способов выбрать основной состав команды

Состав нашей команды в последнем матче против Финляндии был следующим: 2 вратаря, 6 защитников, 6 полузащитников, 4 нападающих; схема игры: 4 – 4 – 2.

Сначала мы поставили и решили следующую задачу.

Задача 1. Из четырех нападающих для игры надо выбрать двоих. Сколькими способами это можно сделать? (с учетом фланга)

Решение:

1.Первого нападающего из четырех можно выбрать четырьмя способами.

2.После того, как первый нападающий выбран, второго можно выбирать из трех оставшихся.

Эту задачу можно было решить, используя формулы комбинаторики:

1. Без учета флангов: ( - число размещений)

k – множителей (способов)

2. С учетом флангов: ( - число сочетаний)

(способов)

Вратарей – 2, нужен – 1. Значит, вратарей можно выбрать двумя способами.

Нападающих - 4, нужно – 2.Тогда, нападающих можно выбрать 4 ∙ 3 = 12 способами.

Итак, всего способов выбрать:

вратаря – 2,
нападающих – 12,
защитников – 360,
полузащитников – 360

Тогда для игры можно выбрать игроков

2 + 12 + 360 + 360 = 734 способами (с учетом флангов). Без учета флангов – 367 способов

Как зарабатывает деньги букмекер на футболе?

Профессия букмекера тесно пересекается с математикой, комбинаторикой, теорией вероятности и статистикой. Как известно, вероятность наступления любого заранее неизвестного события изменяется в пределах от 0 (событие невозможно) до 1 (событие точно наступит).

Любое событие, на которое организуется прием ставок, рассматривается как возможность наступления одного из исходов: что футбольный матч может закончиться либо победой одной из команд, либо ничьей, и данные исходы полностью исчерпывают возможные варианты.

Таким образом, для приема ставок на результат футбольного матча, букмекер должен рассчитать вероятности победы первой команды, ничьи и второй команды. Для такого расчета используется статистика выступления команд, мотивация команды и игроков на матч, климат в команде, цели клуба в турнире, место, где будет сыгран матч и другие, часто не менее значимые факторы.

Сейчас создана специальная программ «Футбольная Симфония». Авторы ее утверждают, что в результате исследования статистики по всему европейскому футболу за многие годы они смогли разработать математические алгоритмы, позволяющие делать высокоточные прогнозы результатов футбольных матчей. Математические алгоритмы разработаны совместно с крупнейшим российским НИИ прогнозирования и моделирования. Работа велась в течение нескольких лет. Точность обеспечивается еженедельным самообучением алгоритмов. Уникальная разработка российских математиков позволяет прогнозировать результаты футбольных матчей с удивительной точностью. Есть вероятность того, что заработать большие деньги на футбольных ставках теперь смогут даже люди далекие от футбола, но умеющие прогнозировать.

Определение суммарного рейтинга стран

Рейтинг стран за 2008 год

страны

годы

кол-во команд

03/04

04/05

05/06

06/07

07/08

сумма

Англия

Испания

Италия

Франция

Германия

Россия

Румыния

Португалия

Голландия

Шотландия

11.250

14.312

8.875

13.500

4.714

5.875

4.333

10.250

5.416

7.357

15.57

12.437

14.000

11.428

10.571

10.000

5.500

8.166

12.000

4.750

14.428

15.642

15.357

10.812

10.437

10.000

16.833

5.500

7.583

4.250

16.625

19.000

11.928

10.000

9.500

6.625

11.333

8.083

8.214

6.750

17.875

13.875

10.250

6.938

13.500

11.250

2.600

7.928

5.000

10.250

75.749

75.266

60.410

52.668

48.722

43.750

40.599

39.927

38.213

33.375

В таблице для заданного сезона указан детальный подсчет коэффициентов стран, который равен сумме очков, набранных всеми клубами страны, поделенный на количество клубов от этой страны. Сумма коэффициентов за последние 5 лет определяет рейтинг страны. Выигрыши на основных этапах – 2 очка в рейтинг клуба, ничьи – 1 очко, проигрыши – 0 очков. Очки, набранные командой делятся на количество, представлявших страну.

Выигрыши на предварительных этапах – 1 очко, ничьи на предварительных этапах – 0,5 очка, проигрыш – 0 очков. Таким образом, ценность побед и ничьих в основных раундах в 2 раза выше, чем на предварительной стадии еврокубков. Бонусные очки начисляются за выход в групповой этап Лиги Чемпионов (3 очка), за выход в стадии 1/8 финала, 1/4 финала, полуфинал и финал Лиги Чемпионов (по 1 очку), а также за выход в 1/4 финала, полуфинал и финал кубка УЕФА (по 1 очку)

Суммарный рейтинг страны определяется как сумма коэффициентов страны за последние 5 лет сезонов.

Расчет оптимального угла удара по мячу

Подставив в формулу (1) значения α равные 20°, 30°, 40° и 50° и произведя необходимые вычисления, мы получили следующую таблицу:

20°

30°

40°

50°

60°

54м

78,3м

90м

78,3м

Таким образом, мы замечаем, что мяч пролетит наибольшее расстояние,если 40° < α < 50° , α ≈ 45°

Задача решена без учета сопротивления воздуха.

Кроме того, традиционная механика не учитывает особенности строения костей и мышечной структуры тела футболиста.

Практически…

Чтобы футбольный мяч пролетел большее расстояние и с более высокой скоростью, футболист должен его направлять под углом 25-30 градусов от поверхности земли.

Игроки выработали такую траекторию в результате длительной практики. Специалисты изучали кадры видеосъемки футболистов, выполняющих этот удар под различными траекториями. Затем они попытались описать полученные данные о скорости мяча, расстоянии, на которое он пролетел, и времени его полета, в виде математических уравнений.

Это дало исследователям возможность найти самый оптимальный угол, под которым нужно направлять мяч, чтобы тот пролетел наибольшее расстояние. Оказывается, он должен составлять от 25 до 30 градусов.

Иногда имеет значение не дальность удара, а время полета мяча. Например, когда нужно быстрым пасом застать противника врасплох. Ученые установили, что в этом случае траектория должна быть на несколько градусов ниже. Это почти не изменит дальность, но может изменить время полета, а сэкономленные десятые доли секунды порой приобретают решающие значение в ходе матча.

О футбольном мяче

Без мяча футбол не возможен. Футбольный мяч соответствует следующим требованиям, опирающимся на теорию графов:

Согласно довольно строгим правилам, покрышка обыкновенного спортивного мяча состоит из 32 кусочков в форме правильных выпуклых фигур:12 пятиугольников и 20 шестиугольников, расположенных рядом друг с другом так, что они образовывают закрытую пространственную фигуру, которая напоминает сферу.

Геометрическая фигура футбольного мяча получила имя - усечённый икосаэдр

Математик из Мюнхенского университета утверждает, что «футбольный мяч для математика – это интригующая головоломка». А можно ли для мяча использовать другие фигуры, кроме 5-угольников и 6-угольников? Да используются.

Старейший футбольный мяч сделан из вулканизированной резины. Хранится эта достопримечательность в Национальном зале футбольной славы (National Soccer Hall of Fame) в Онеонте, штат Нью-Йорк .

Древнеегипетские мячи

Один из первых футбольных мячей

Мы решили геометрические задачи о вычислении углов правильных многоугольников, из которых состоит поверхность футбольного мяча.

Задача. Найдем углы α -правильного пятиугольника и β -правильного шестиугольника

Решение

Если в многоугольнике провести из одной вершины все его диагонали, то

при разбиении выпуклого n –угольника на треугольники, указанным способом, количество треугольников равно (n – 2)

Сумма углов каждого треугольника равна 180°.

Таким образом, сумма углов n – угольника вычисляется по формуле

180(n – 2)°

Для пятиугольника: 180 . (5 – 2) = 540°

Т. к. все углы правильного пятиугольника равны, то каждый угол

= 540 : 5 = 108°

Для шестиугольника: = 180 ∙ (6 – 2) : 6 = 120°

Научный подход к футболу давно стал реальностью современного футбола.

Математика – наука, на первый взгляд, весьма далекая от футбола. Но в современной футбольной науке нашли применение не только новейшие разработки, но и достижения вековой давности.

Петербуржский математик Андрей Андреевич Марков умер ещё в 1922 году, то есть в то время, когда футбол делал ещё только первые шаги. Как же можно применить достижения русского ученого к современному футболу? Оказывается можно. Те математические уравнения и преобразования, которые в свое время разработал Марков, применимы для самых различных областей человеческой деятельности. При помощи тех формул, что когда-то вывел русский учёный, вполне можно алгоритмизировать характер матча, игровую манеру той или иной команды и даже отдельные эпизоды той или иной встречи.

А.А.Марков и его научная деятельность хорошо известны профессиональным математикам. Его специализацией была теория вероятностей и математическое обоснование предсказаний. Его теория позволяет перерабатывать огромный массив информации, при этом, чем больше объем данных, тем выше точность прогноза, выраженная математическим уравнением.

Разработки Маркова эффективны и в футболе. Оказалось, что при их помощи можно с большой долей вероятности определить момент, когда лучше провести замены, ожидать гола или же поменять тактику команды. Специалисты говорят, что теория Маркова уже опробована на матчах английской премьер-лиги, и результаты её проверки принесли невероятные результаты. Поговаривают, что ведущие сборные Европы уже имеют математически обоснованные портреты своих соперников по чемпионату мира.

Причём, при помощи его разработок можно не только анализировать ход уже состоявшегося матча, но и прогнозировать будущие встречи.

Новое время диктует и новые методы подходак футболу, в том числе и математические…

Заключение.

Мы хотели найти ответ на вопрос: «Есть ли связь между математикой и футболом»? На него можно ответить утвердительно. Да!!!

Математика и футбол нашли общие точки.И, что приятно, не разветвления, а пересечения.

Мы считаем, что мы достигли тех целей, которые ставили перед собой, работая над проектом. Но в тоже время существует еще много точек пересечения математики и футбола, которых мы не рассматриваем в своем проекте. В настоящее время чтобы футбольная команда удачно выступала в соревнованиях, проводятся сложные научно обоснованные расчеты калорийности питания футболистов, применяется строгий график тренировок по различным технологиям. Мы понимаем, что эту работу еще можно продолжать.

Список литературы

1. Энциклопедия «Я познаю мир». Спорт.- М.: Астрель, 2004г.

2. П. Ланфранш, К. Айзенберг, Т. Мейсон, А. Валь «FIFA 100 ЛЕТ» М.Махаон, 2005г. (Weidefeld & Nicolson 2004)

2. Садовский Л.Е., Садовский А.Л. Математика и спорт

3. http://news.siona.ru/science/id_232/

http://www.injoyyy.ru/index.php?newsid=183
http://rsport.netorn.ru/enot/books/02_search.htm
http://www.fanclub-fakel.ru/readarticle.php?article_id=13
http://users.imec.msu.ru/fmrobot/Football/2/SOC_DEF2.htm
http://buker.moy.su/forum/18-29-1 и другие.

infourok.ru

Математический футбол

Разделы: Математика, Внеклассная работа, Классное руководство

Правила игры:

1. Введение «мяча» в игру

Всем командам даётся одна задача. Команда, ответившая первой правильно, получает одно очко и владеет «мячом».

2. Удары по воротам

Каждый удар — набор одинаковых по теме и сложности задач (на каждую команду по задаче).

Команда, владеющая «мячом», должна назвать номера задач для противников, а оставшуюся задачу решает сама.

Команда, ответившая первой правильно, получает одно очко и владеет «мячом».

Если две команды решили одновременно и правильно, то каждой команде даётся по одному очку, и мяч переходит к другой команде. В спорных случаях «мячом » владеет судья.

Если нет ни у одной команды верного решения, то команды не получают очка, «мяч» остаётся у той же команды.

3. Пенальти

В случае ничьей после серии ударов по воротам, командам даются (по мере решения) по три одинаковых задачи. За каждую правильно решенную задачу команда, ответившая первой, получает очко.

Если после серии ударов по воротам есть победитель, то эти задачи даются болельщикам.

Задания для математического футбола:

I удар. Розыгрыш мяча

Лев съедает овцу за два дня, волк за три дня, а лиса за шесть дней. За сколько дней они вместе съедят овцу?

II удар. Первый удар по воротам

В классе 35 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы.

II удар. Первый удар по воротам

В новом доме 42 квартиры. В него поселили 36 человек. Докажите, что найдётся квартира в которую не поселили ни одного человека.

III удар. Второй удар по воротам

Александр, Борис, Виктор и Григорий — друзья. Один из них — врач, другой — журналист, третий — спортсмен, а четвёртый — строитель. Журналист написал статьи об Александре и Григории. Спортсмен и журналист вместе с Борисом ходили в поход. Александр и Борис были на приёме у врача. У кого какая профессия?

III удар. Второй удар по воротам

В одном дворе живут четыре друга. Вадим и шофёр старше Сергея; Николай и слесарь занимаются боксом; Электрик — младший из друзей. По вечерам Антон и токарь играют в домино против Сергея и электрика. Определите профессию каждого из друзей.

IV удар. Третий удар по воротам

Делится ли число 11 · 21 · 31 · 41 · 51 · … · 2001 — 1 на 10? Почему?

IV удар. Третий удар по воротам

Какой цифрой оканчивается число 1111 + 1212 + 1313 ?

V удар. Четвёртый удар по воротам

Имеется пять одинаковых по виду монет, одна из которых фальшивая, легче других. Требуется определить, фальшивую монету. Какое минимальное число взвешивание потребуется?

V удар. Четвёртый удар по воротам

Имеется шесть одинаковых по виду монет, одна из которых фальшивая, легче других. Требуется определить, фальшивую монету. Какое минимальное число взвешивание потребуется?

VI удар. Пятый удар по воротам

Какие два целых положительных числа, если их сложить, дают больше, чем если их перемножить?

VI удар. Пятый удар по воротам

Какие целых положительных числа, если их с перемножить, дают столько же, сколько получается от их сложения?

VII удар. Пенальти

Расшифруйте ребус (одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, разные — разным): Б + БЕЕЕ = МУУУУ

VIII удар. Пенальти

Перед вами шесть стаканов: три полных и три пустых. Дотроньтесь рукой лишь до одного стакана и добейтесь, чтобы пустые и полные стаканы чередовались.

IX удар. Пенальти

Проехав половину пути, пассажир лёг спать и спал до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, который он проспал. Какую часть пути пассажир проехал бодрствующим?

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Исследовательская работа "Математика и футбол".

Оглавление

1. История развития футбола в Нижегородской области…………………………..2-3

2. Футбольный мяч в исследованиях математиков ………………………………...4-5

3. Алгоритм в математике и в футболе………………………………………………...5

3.1 Правила игры в футбол……………………………………………………5-6

4. Рацион питания и режим дня футболиста – школьника…………………………...7

5. Мои исследования…………………………………………………………………….8

6. Вывод…………………………………………………………………………………..8

7. Заключение………………………………………………………………………….8-9

8. Список литературы……………………………………………………………………9

9. Приложение……………………………………………………………………….10-13

Исследовательский проект

ТЕМА: МАТЕМАТИКА И ФУТБОЛ

Гипотеза: Знание математики способствует улучшению спортивных достижений.

Цель: Определить связь математики и футбола.

Задачи:

Собрать материал из истории развития футбола в Нижегородской области;
Рассмотреть футбольный мяч как математический объект;
Рассмотреть алгоритм в математике и в футболе;
Составить режим дня футболиста-школьника;
Провести опрос об отношении к спорту учащихся начальных классов МБОУ СШ № 4.

История развития футбола в Нижегородской области

Футбол, зародившийся в Англии в середине XIX века, добрался до Нижегородской области в начале XX века. Летом 1909 года, дачники села Кстово создали первую футбольную команду в Нижегородской губернии. Первая футбольная команда в самом Нижнем Новгороде была организована год спустя, в 1910 году. Массовое развитие футбол в Нижегородском крае получил лишь после 1917 года. После этого футбол стал спортом номер один для всех жителей Нижегородской земли. Сильнейшими командами города в 20-30-е годы были «Динамо», «Волгарь» и команда рабочего клуба железнодорожников «Спартак». В 1923 году нижегородский футбол вышел на всероссийскую арену. Сборная города приняла участия во втором чемпионате Советской России, который проходил в Москве в рамках Всесоюзного праздника физической культуры.

Первый международной матч нижегородских футболистов состоялся 30 августа 1928 года против команды рабочего спортивного союза Уругвая. Встреча завершилась победой последних со счётом 2:1.

В 1936 году стартовал первый чемпионат СССР. Горьковский футбол представляли торпедовцы.

В 1956 году Сормовская команда «Авангард» становится чемпионом РСФСР среди производственных коллективов.

В 1987 году была возрождена железнодорожная команда, которая стала называться «Локомотив». В 1989 году команда вышла в Первую лигу Чемпионата СССР. В 1992 году в связи с распадом СССР «Локомотив» попал в Высшую лигу Российского футбола, где по итогам чемпионата занял 6 место. Это лучшее достижение нижегородских команд в Чемпионатах России.

Клубы нижегородской земли достигали успехов и в Кубке России. В сезоне 1994-1995 Арзамасское «Торпедо» пробилось в 1/4 финала, а в 2000-2001 году Уренский «Энергетик» доходил до 1/8 финала Кубка страны.

В XXI веке нижегородский футбол заблистал новыми яркими красками. В 2007 году в Нижнем Новгороде была открыта Нижегородская Академия Футбола, воспитанники которой уже сейчас призываются в сборную России своих возрастов. В этом же году на базе любительской команды «Тэлма-Водник», выступавшей до этого в чемпионате Нижегородской области, был создан новый клуб под названием ФК «Нижний Новгород». 11 мая 2007 года нижегородский клуб «Волга» и ФК «Нижний Новгород» заключили договор о совместной деятельности сроком на один сезон. Команда была переименована в «Нижний Новгород-Волга-Д». ФК «Нижний Новгород» неплохо провел сезон и занял в первенстве Межрегионального Футбольного Союза «Приволжье» третье призовое место.

В феврале 2008 года ФК «Нижний Новгород» прошел процедуру аттестации в ПФЛ и был включен в состав участников первенства России среди команд второго дивизиона. Руководство клуба вновь поставило высокую задачу - войти в тройку сильнейших команд зоны «Урал-Поволжье». В команду была приглашена большая группа футболистов, имеющих опыт выступления в клубах премьер-лиги и первого дивизиона. На пост главного тренера был приглашен хорошо известный по работе с Дзержинским «Химиком» Салават Галеев. Новому наставнику удалось стабилизировать игру команды, а рекордная серия из девяти побед подряд вывела ФК «Нижний Новгород» на вторую строчку в турнирной таблице.

Мини-футбол

Датой рождения современного мини-футбола в нашей стране следует считать 1989 год. Именно тогда в структуре Федерации футбола СССР был создан комитет по мини-футболу.

Особой популярностью в Нижегородской области пользуются соревнования:

- Турнир памяти Героя России И. Гурова и Кавалера Ордена Мужества М. Мордовина - это соревнования по мини-футболу для учащихся средне-общеобразовательных школ, которые проводятся в городе Богородск Нижегородской области. Турнир проводится ежегодно с 2008 года.

- Чемпионат Нижегородской области по мини-футболу.

- Турнир по мини-футболу среди юношей памяти А. Денискина. Турнир проводится в г. Дзержинск Нижегородской области.

Чемпионат мира по футболу FIFA 2018 г. пройдет в г. Саранске – столице Мордовии.

Футбольный мяч в исследованиях математиков

Оказывается, обычные мячи, которые появились на соревнованиях за кубок FIFA ещё в 1970 году, можно достаточно долго и увлекательно изменять. И дело тут не в улучшении материалов или использовании каких-то современных технологий, а в полёте фантазии. Математической фантазии.

Согласно правилам, покрышка обыкновенного спортивного мяча состоит из 32 кусочков в форме правильных выпуклых фигур – 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, расположенных рядом друг с другом так, что они образовывают закрытую фигуру, которая напоминает сферу. Это спортивное определение футбольного мяча.

А теперь выясняется, что в порядок этой строго заданной фигуры можно вносить самые разнообразные изменения. Модели этих спортивных снарядов вполне могут быть преобразованы в мячи других форм.

«Для математика футбольный мяч – это интригующая головоломка».

Но тут же возникает целый ряд вопросов, о которых нематематик наверняка даже и не задумается: есть ли другой способ расположить кусочки покрышки? Можно ли использовать другие фигуры вместо пяти- и шестиугольников? И вообще, могут ли мячи выглядеть как-то иначе?

Футбольный мяч соответствует следующим требованиям:

Он является многогранником, состоящим исключительно из пяти- и шестиугольников;

Пятиугольники своими сторонами касаются только шестиугольников;

Стороны шестиугольников могут касаться сторон как пяти -, так и шестиугольников.

Если потребовать, чтобы в вершинах соприкасались три фигуры, то получится обычный мяч. Но если это требование изменить, то возможными станут многие другие варианты дизайна. Такое своеобразное развлечение можно назвать научным, ведь футбольный мяч вполне можно назвать математическим объектом.

Официальный футбольный мяч Кубка мира-2006. Сделан всего из 14 изогнутых кусочков.

Надо сказать, что с футбольными мячами математики обращаются довольно свободно.

Старейший футбольный мяч из вулканизированной резины. Уже порядком испортился, из-за чего напоминает какой-то промежуточный этап математической трансформации обычного мяча. Хранится эта достопримечательность в Национальном зале футбольной славы Онеонте, штат Нью-Йорк.

В общем, математика и футбол нашли общую точку пересечения. Учёные тут позволяют себе то, чего в реальности трудно достичь – разрезать и сшивать мяч, растягивать его, закручивать и раскручивать.

Алгоритм в математике и в футболе

Продолжим наши исследования и покажем что в спорте, так же как и в математике необходимо составление алгоритма (последовательности) действий для достижения поставленной цели.

Как в математике, так и в спорте очень важно знать определённые правила для составления алгоритма. В математике и в спорте их немало.

Спортсмены, которые занимаются конкретным видом спорта, отмечают, что знания математики помогают им:

во-первых, в построении тактики,
во-вторых, при расчёте физической нагрузки.

Продуманность ходов в спорте гарантирует наиболее вероятную победу над противником в любом поединке или спортивной игре.

Правила игры в футбол

Как известно, правила футбола первоначально были введены более двух столетий назад, после чего многократно менялись, а также совершенствовались. В 2005 году была принята последняя их редакция:

Правила игры	Параметры
Поле для игры	Прямоугольной формы длиной 90-120 метров и шириной 45-90 метров с травяным или искусственным покрытием. На поле должна присутствовать специальная разметка: средняя линия с отмеченным при помощи окружности центром поля, боковые линии, линии ворот.
Мяч	Сферической формы с длиной окружности не выше 70 см и не меньше 68 см.
Число игроков	Разрешается присутствие на поле единовременно не больше одиннадцати игроков от команды (десять полевых плюс вратарь), но не менее семи. Команд в игре – две.
Экипировка игроков	У игроков полевых команд должно быть наличие единой формы. Форма вратарей должна быть отличной от формы полевых игроков, а также судей.
Судья	Следит за тщательным соблюдением правил.
Помощники судьи	Помощники судьи помогают судье проводить матч в соответствии с Правилами игры. Они могут входить в пределы поля для того, чтобы проконтролировать соблюдение расстояния в 9,15 м.
Продолжительность игры	Два тайма, каждый по 45мин., а также пятнадцатиминутный перерыв.
Начало и возобновление игры	Перед игрой проводится жеребьевка для распределения ворот. После перерыва команды меняются на поле воротами.
Мяч в игре и не в игре	Футбольные правила гласят, что • Мяч в игре. Из игры мяч выходит после покидания пределов поля, а также после остановки игры судьей.
Определение взятия ворот	Голом принято считать положение, когда мяч пересекает полностью линию ворот, причем, при отсутствии нарушения правил.
Положение «Вне игры»	Положение «вне игры» наступает, если игрок нападавшей команды на момент удара либо паса располагался ближе к воротам команды-противника, нежели предпоследний игрок команды защищающейся, а также ближе мяча. При этом игра останавливается.
Неспортивное поведение игроков	К неспортивному поведению относятся: игра рукой, подножка, опасная игра.
Штрафной и свободный удары	Свободный и штрафной удары во всех случаях выполняются по неподвижному мячу. Игрок, выполнивший удар, не может вторично касаться мяча до тех пор, пока его (мяча) не коснётся какой-либо другой игрок.
Пенальти	Специальный удар по воротам непосредственно с одиннадцатиметровой отметки, назначаемый обычно за нарушение (грубое) в штрафной площадке.
Вбрасывание мяча	Вбрасывание мяча является одним из способов возобновления игры. Вбрасывание назначается в случае, когда мяч полностью пересечёт боковую линию поля, с места, где мяч пересёк линию, в пользу команды-соперницы игрока, последним коснувшегося мяча.
Удар от ворот	Удар от ворот является способом возобновления игры. Удар от ворот назначается, когда мяч, последний раз коснувшись игрока атакующей команды, полностью пересёк линию ворот по земле или по воздуху, и при этом не был забит гол.
Угловой удар	Проведение углового удара предусматривается для возобновления игры. По числу пробитых угловых можно понять какая команда играла активнее.

Рацион питания и режим дня футболиста-школьника.

Для укрепления здоровья и повышения работоспособности в учёбе, спорте большое значение имеет правильная организация условий жизни футболиста-школьника. При правильно организованном распорядке жизни (режиме) регулярно чередуются по времени различные виды деятельности и отдыха (учеба в школе с занятиями спортом, приготовление уроков и пребывание на воздухе). Только при таких условиях обеспечивается полное восстановление сил после работы, и создаются оптимальные возможности для развития функциональных способностей организма детей, подростков, юношей.

В режиме дня необходимо учитывать следующие основные положения:

1) утреннюю гимнастику после подъема;

2) закаливающие процедуры;

3) регулярный и достаточной длительности сон;

4) регулярное питание;

5) достаточный отдых с максимальным пребыванием на свежем воздухе;

6) рациональное чередование различных видов деятельности.

Схема режима дня юного спортсмена, посещающего школу в первую смену

Вид деятельности	Возраст
Вид деятельности	10-12 лет
Подъем	6:45
Утренняя гимнастика	6:50-7:05
Уборка постели, умывание, одевание	7:05-7:20
Завтрак	7:20-7:30
Дорога в школу	7:30-7:45
Занятия в школе	8:00-12:40
Обед	12:40-13:00
Приготовление уроков	13:30-15:00
Тренировка	15:45-17:15
Ужин	18:00-18:30
Приготовление уроков	18:30-19:30
Свободное время	19:30-21:00
Подготовка ко сну	21:00-21:30
Сон	21:30-6:45

Вывод: Расчет суточного рациона питания и режим нашего дня не что иное как расписанное время, и это тоже математика.

Социологический опрос: «Отношение школьников к спорту».

В ноябре-декабре 2015 года был проведен опрос по поводу отношения учащихся начальных классов МБОУ СШ № 4 п. Юганец к спорту. Было опрошено __60__человек, это учащиеся 2-4 классов.

Вопросы	Ответы
Вопросы	За	Против
Нравится ли вам заниматься спортом?	60	-
Какой вид спорта вы предпочитаете?	Гимнастика (17 чел.), футбол(29 чел.), плавание(9чел.), каратэ(5чел.)
Укрепляет ли спорт здоровье?	60	-

Вывод: учащиеся нашей школы увлекаются футболом, легкой атлетикой, плаванием, каратэ.

В ходе исследования было установлено, что любимым времяпрепровождением у учащихся начальных классов, является занятие спортом. Выбирают они его, потому, что хотят быть сильными и здоровыми, им нравится заниматься спортом.

Заключение

Работа над темой показала, что математика и футбол имеют много общего. Поставленная цель достигнута: определена связь математики и футбола.

В ходе исследования мною были выполнены все поставленные задачи, а именно:

- изучена история развития футбола в Нижегородской области,

- рассмотрен алгоритм действий в спорте и в математике,

- составлен режим дня футболиста-школьника,

- проведен опрос об отношении к спорту обучающихся начальных классов нашей школы,

- изучена литература, среди которой оказались познавательные и интересные книги, интернет-ресурсы.

Выдвинутая гипотеза подтверждается: знание математики способствует улучшению спортивных достижений.

По результатам опроса сделан вывод: учащиеся нашей школы увлекаются волейболом, футболом, легкой атлетикой.

Список используемой литературы:

Волков В. М., Филин В. П. Спортивный отбор. - М.: Физкультура и спорт, 2008 год.
Зачем и как бегать? - Метод. рекоменд. - Сочи. 2007 год.
Интернет-ресурсы.
Порублев И. Н, Ставровский А. Б. Алгоритмы и программы. Решение олимпиадных задач. — М.: «Вильямс», 2007 год.
Рекомендации тренера футбольной секции ФОК «ТРИУМФ» г. Володарск Колымаева А.А.
Садовский Л.Е., Садовский А.Л. Математика и спорт. – Москва, «Наука», 1985 год.

Приложение

Фотографии игры в футбол